rrzbr 2, równania różniczkowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RÓWNANIARÓNICZKOWEZWYCZAJNEB Listanr1 1.Napisa¢równanieró»niczkowe,jakiespełnianapi¦cieu=u(t)naokładkachkondensatora wobwodziezawieraj¡cympoł¡czoneszeregowooporno±¢Ripojemno±¢C,je±liwchwili zamkni¦ciaobwodunaokładkachkondensatorazgromadzonebyłyładunkielektryczneQ 0 i −Q 0 (Q 0 >0). 2.Whalioobj¦to±ci200m 3 powietrzezawiera0,15%dwutlenkuw¦gla.Wentylatorpodajew ci¡guminuty20m 3 powietrzazawieraj¡cego0,04%CO 2 .Uło»y¢równanieró»niczkowena zale»no±¢st¦»eniadwutlenkuw¦glawhaliodczasu. 3.Dwastulitrowezbiorniki,jedenzawieraj¡cy20%wodnyroztwórsoli,adrugiczyst¡wod¦, poł¡czonoukłademdwóchpomp.Wpewnejchwiliwł¡czonopompypracuj¡cewprzeciw- nychkierunkachzpr¦dko±ci¡10l/min.Uło»y¢równanieró»niczkowenazale»no±¢st¦»enia roztworuwpierwszymzbiornikuodczasu. 4.Ciałoomasiemjestumocowanedospr¦»ynyowspółczynnikuspr¦»ysto±cik,izanurzone wlepkiejcieczyowspółczynnikutłumieniap.Znale¹¢równanieró»niczkoweopisuj¡ceruch ciała. Listanr2 1.Funkcjay=y(t)jestrozwi¡zaniemzagadnieniapocz¡tkowego y 0 =t 2 +y 2 , y(1)=2. Obliczy¢y 0 (1),y 00 (1)iy 000 (1). 2.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowych: a)y 0 =− y t , y , c)y 0 =1+ 1 y 2 , d)y 0 =−2ty, e)y 0 =e t−y . 3.Zapomoc¡odpowiednichpodstawie«znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»- niczkowych: a)y 0 =(t+y) 2 ,b)y 0 =t+y+1,c)y 0 = 1 t+y−1 , d)y 0 =e t+y −1. 4.Znale¹¢rozwi¡zanianast¦puj¡cychzagadnie«pocz¡tkowych(ipoda¢dziedzinytychrozwi¡- za«): a)y 0 =1+y 2 ,y(0)=0, b)y 0 =−y 2 ,y(0)=1,c)y 0 =ycost,y(0)=1, d)y 0 tgt=y,y(/2)=1, e)(1+y 2 )−tyy 0 =0,y(1)=0. 5.Znale¹¢rozwi¡zaniarówna«ró»niczkowychzzada«1.1i1.2. 6.Znale¹¢krzyw¡otejwłasno±ci,»ewdowolnymjejpunkciewspółczynnikkierunkowystycznej jestrównystosunkowirz¦dnejdoodci¦tejpunktustyczno±ciwzi¦tejzeznakiemprzeciwnym. 7.Znale¹¢krzyw¡otejwłasno±ci,»eodcinekstycznejdoniej,zawartymi¦dzyosiamiukładu współrz¦dnych,jestdzielonynapołowyprzezpunktstyczno±ci. 8.Zmianaliczebno±ciNpewnychpopulacjiorganizmów»ywychwczasieopisywanajestrów- naniemlogistycznym dN dt =N(K−N), gdzieiKs¡stałymidodatnimi. a)Znale¹¢rozwi¡zanieogólnerównanialogistycznego. b)Zbada¢monotoniczno±¢ iasymptoty(przyt!1)rozwi¡za«równanialogistycznegoodpowiadaj¡cychwarunkom pocz¡tkowymN(0)>0. (Wsk.:Rozpatrzy¢trzyprzypadki:N(0)2(0,K),N(0)=K, N(0)>K). b)y 0 =1+ 1 9.WedługprawaNewtonaszybko±¢ochładzaniasi¦ciaławpowietrzujestproporcjonalnado ró»nicytemperaturciałaipowietrza.Wiadomo,»etemperaturaciaławci¡gupierwszych20 minutspadłaod100 Cdo60 C,przyczymtemperaturapowietrzajeststałairówna20 C. Wjakimczasietemperaturaciałaobni»ysi¦do22 C?Do20 C? 10.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowych: a)ty 0 =y+ p y 2 −t 2 , b)y 0 = t−y y+2 t+y−1 2 , d)y 2 y 0 +t 2 =1,e)y 0 p t−2y , c)y 0 =2 1−t 2 =1+y 2 . 11.Znale¹¢krzyw¡otejwłasno±ci,»estycznapoprowadzonawdowolnymjejpunkcieprzecina o±odci¦tychwpunkcie,któregoodległo±¢odpocz¡tkuukładuwspółrz¦dnychjestdwarazy wi¦kszaododci¦tejpunktustyczno±ci. 12.Napisa¢równaniaró»niczkowepodanychrodzinkrzywychorazrównaniaró»niczkoweich trajektoriiortogonalnych: a)y=Ct 2 ,b)t 2 −y 2 =C 2 ,c)t 2 −y 2 =Ct,d)t 2 +y 2 =2Ct. 13.Znale¹¢rozwi¡zanianast¦puj¡cychzagadnie«pocz¡tkowych(ipoda¢dziedzinytychrozwi¡- za«): a)ty 0 =yln y t ,y(1)=1, b)( p ty−t)y 0 +y=0, y(1)=0,c)(y+ p t 2 +y 2 )−ty 0 =0,y(1)=0. 14.Znale¹¢kształtzwierciadłaskupiaj¡cegowjednympunkciepadaj¡cena«promienierówno- ległe. (Wsk.:patrznp.N.M.Matwiejew,Zadaniazrówna«ró»niczkowychzwyczajnych,wyd. drugie,PWN,Warszawa,1976,str.82–84,lubJ.Muszy«skiiA.D.Myszkis,Równania ró»niczkowezwyczajne,PWN,1984,str.14–15) Listanr3 cos 3 t . 2.Znale¹¢rozwi¡zanianast¦puj¡cychzagadnie«pocz¡tkowychdlarówna«ró»niczkowychlinio- wych(ipoda¢dziedzinytychrozwi¡za«): a)y 0 −y=1,y(2)=3, b)ty 0 +y=t+1,y(1)=0, c)t 2 +ty 0 =y,y(1)=0,d)y 0 cost+ysint=1,y(0)=1, e)y 0 +ycost=cost,y(0)=1, f)ty 0 =t−y,y(0)=0. 3.Znale¹¢rozwi¡zaniarównaniaró»niczkowegozzadania1.3. 4.Obwódelektrycznyoindukcyjno±ciLioporzeRjestzasilany¹ródłemstałejsiłyelektro- motorycznejE.Nierozwi¡zuj¡crównaniaró»niczkowegowykaza¢,»enat¦»eniei(t)pr¡du płyn¡cegowobwodzied¡»ydoE/Rprzyt!1. 5.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«Bernoulliego: a)y 0 +2ty=2ty 2 , b)y 0 −2ye t =2t p ye t , c)y 0 + y t = 1 y . 6.Znale¹¢rozwi¡zanianast¦puj¡cychzagadnie«pocz¡tkowy ch dlarówna«Bernoulliego: a)ty 0 +y=y 2 lnt,y(1)=1, b)y 0 −2ye t =2t p y,y(0)=0. 7.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowych:a)(2ty 3 +y)y 0 +2y 2 −4=0, b)(t 2 y 3 +ty)y 0 =1. Wsk.:Szuka¢rozwi¡za«wpostacit=t(y). 8.Znale¹¢krzyw¡przechodz¡c¡przezpunkt(1,1),dlaktórejpoletrójk¡tautworzonegoprzez o±poziom¡,styczn¡iwektorwodz¡cypunktustyczno±cijeststałeirówne1/2. Wsk.:Szuka¢rozwi¡za«wpostacit=t(y). 1.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychliniowych:a)y 0 +2y=e −t , b)y 0 −2ty=2te t 2 , c)y 0 cost−ysint=2t, d)y 0 −ytgt= 1 9.Zapomoc¡podstawieniaz=tyznale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowego ty 2 (ty 0 +y)=a 2 . 10.Zapomoc¡podstawieniaz=sin(ty)znale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowego t 2 cos(ty) − y t . Listanr4 1.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychdrugiegorz¦du: a)(1+t 2 )y 00 +(y 0 ) 2 +1=0, b)ty 00 =y 0 ln y 0 t , c)(tlnt)y 00 −y 0 =0. 2.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychdrugiegorz¦du:a)yy 00 =(y 0 ) 3 , b)1+(y 0 ) 2 =2yy 00 , c)2yy 00 +(y 0 ) 2 +(y 0 ) 4 =0. 3.Znale¹¢rozwi¡zanianast¦puj¡cychzagadnie«pocz¡tkowychdlarówna«ró»niczkowychdru- giegorz¦du(ipoda¢dziedzinytychrozwi¡za«):a)2yy 00 −3(y 0 ) 2 =4y 2 ,y(0)=1,y 0 (0)=0, b)3y 0 y 00 =e y ,y(−3)=0,y 0 (−3)=1. 4.Znale¹¢równanieruchuspadaj¡cegoswobodnieciałaomasiemzuwzgl¦dnieniemoporu powietrzawyra»aj¡cegosi¦wzoremG=kv 2 ,gdziekjeststał¡dodatni¡,avpr¦dko±ci¡ ruchu.Znale¹¢rozwi¡zanietegorównania. 5.Zhakaze±lizgujesi¦wisz¡cynanimła«cuch.Wchwilipocz¡tkowejzjednejstronyhaka zwisa10mła«cucha,azdrugiej8m.Nieuwzgl¦dniaj¡coporówruchu,znale¹¢wci¡gu jakiegoczasucałyła«cuchze±lizgniesi¦zhaka. Wsk.:PatrzG.I.Zaporo»ec,Metodyrozwi¡zywaniazada«zanalizymatematycznej,WNT, Warszawa,1976,zad.1169,str.515–516. 6.Znale¹¢rozwi¡zaniezagadnieniapocz¡tkowego (y 00 ) 2 =4(y 0 −1), y(0)=0, y 0 (0)=2. 7.Przypomocypodstawieniay 0 =yzznale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowegodru- giegorz¦du tyy 00 −t(y 0 ) 2 −yy 0 =0. 1+y 2 =0. Wsk.:Zauwa»y¢,»ewobuułamkachpolewejstronielicznikjestpochodn¡mianownika. y 0 − 2yy 0 Listanr5 1.Wykaza¢,»efunkcjey 1 (t)=t iy 2 (t)=t 2 niemog¡stanowi¢układufundamentalnego »adnegorównaniaró»niczkowegoliniowegodrugiegorz¦duokre±lonegonacałejprostej R . Wsk.:Obliczy¢wro«skiantegoukładufunkcji. 2.Sprawdzi¢,czydanefunkcjetworz¡układfundamentalnyrozwi¡za«nast¦puj¡cychrówna« ró»niczkowychliniowychjednorodnych: a)y 1 (t)=cost,y 2 (t)=sint, y 00 +y=0, b)y 1 (t)=e t ,y 2 (t)=e −t , y 00 −y=0, c)y 1 (t)=t,y 2 (t)=tlnt, t 2 y 00 −ty 0 +y=0, d)y 1 (t)=t,y 2 (t)=t 2 −1, (t 2 +1)y 00 −2ty 0 +2y=0, e)y 1 (t)=t,y 2 (t)= y 0 = sin 2 (ty) 8.Znale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowegodrugiegorz¦du y 00 p 1−t 2 , (1−t 2 )y 00 −ty 0 +y=0, f)y 1 (t)=t,y 2 (t)=t 2 ,y 3 (t)=e t , (t 2 −2t+2)y 000 −t 2 y 00 +2ty 0 −2y=0. 3.Znale¹¢rozwi¡zaniaszczególnerówna«zzadania2spełniaj¡cewarunkipocz¡tkowe: a)y(0)=y 0 (0)=1, b)y(0)=0,y 0 (0)=2 c)y(1)=0,y 0 (1)=1, d)y(0)=2,y 0 (0)=1, e)y(0)=0,y 0 (0)=1, f)y(0)=0,y 0 (0)=1,y 00 (0)=1. 4.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychliniowychdrugiegorz¦du, je±liznanes¡pewneichrozwi¡zaniaszczególne: a)ty 00 +2y 0 +ty=0, y 1 (t)= sint t , p b)(1−t 2 )y 00 −ty 0 + 1 4 y=0, y 1 (t)= 1+t, c)y 00 +2ty 0 −2y=0, y 1 (t)=?. 5.Przypomocyodpowiednichpodstawie«znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna« ró»niczkowychliniowych: a)y 00 + 2 t y 0 =0, b)ty 000 +y 00 =3t 2 . 6.Dlapodanychrówna«ró»niczkowychliniowychdrugiegorz¦duznale¹¢rozwi¡zanieszczególne b¦d¡cewielomianem,anast¦pnieznale¹¢rozwi¡zanieogólne:a)(t−1)y 00 −(t+1)y 0 +2y=0, b)(t 2 −3t)y 00 +(6−t 2 )y 0 +(3t−6)y=0. 7.Znale¹¢rozwi¡zanieszczególnerównaniaró»niczkowegoliniowegodrugiegorz¦du t 2 y 00 +4ty 0 +2y=0 wpostacit k ,gdziekjestliczb¡całkowit¡,anast¦pnieznale¹¢rozwi¡zanieogólne. 8.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychliniowychdrugiegorz¦du: a)y 00 − 2 9.Znale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowegoliniowegodrugiegorz¦du y 00 +(1−t)y 0 +y=1, je±liwiadomo,»efunkcjey 1 (t)=1iy 2 (t)=ts¡jegorozwi¡zaniamiszczególnymi. 10.Przypomocymetodyuzmiennianiastałychznale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna« ró»niczkowychliniowychniejednorodnych: a)y 00 +y=tgt (patrzzad.5.2.), b)y 00 −y= 1 Listanr6 1.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychliniowychostałychwspół- czynnikach: a)y 00 −6y 0 +8y=0, b)y (5) −10y 000 +9y 0 =0, c)y 000 +y 00 =0,d)y (4) +8y 00 +16y=0, e)y 000 −6y 00 +12y 0 −8y=0. W przykładziee)odgadn¡¢najpierwjedenpierwiastekrównaniacharakterystycznego. 2.Przypomocymetodyuzmiennianiastałychznale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna« ró»niczkowychliniowychniejednorodnychostałychwspółczynnikach: a)y 00 +y=tgt, b)y 00 −y 0 = 1 cost ,d)y 00 −2y 0 +y= e t t , e)y 00 +4y= 1 cos2t , f)y 00 −y 0 = 1 1+e t . 3.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«ró»niczkowychEulera:a)t 2 y 00 −3ty 0 +3y=0, b)t 2 y 00 +ty 0 −y=0, c)ty 00 −y 0 =0, d)t 2 y 00 −ty 0 +y=0. t y 0 + 2 t 2 y=2, b)y 00 +2ty 0 +2y=2t. t (patrzzad.5.2.b), c)t 2 y 00 −ty 0 +y=6tlnt (patrzzad.5.2.c), d)ty 00 +2y 0 +ty=1(patrzzad.5.4.a). t , c)y 00 +y 0 = 1 4.Przypomocypodstawieniay=e t 2 /2 zznale¹¢rozwi¡zanieogólnerównaniaró»niczkowego y 00 −2ty 0 +t 2 y=0. 5.Przypomocymetodyprzewidywa«znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychrówna«linio- wychniejednorodnychostałychwspółczynnikach: a)y 00 +y 0 −2y=6t 2 , b)y 00 +6y 0 +9y=10sint,c)y 00 +4y=5e t +2t, d)y 00 +y=4sint,e)y 00 +y 0 =3, f)y 00 −y=cos 2 t, g)y 00 −4y 0 =2cos 2 4t, h)y 00 −2y 0 +2y=e t sin 2 t u(t)=Esin(!t),gdzieE>0i!= p 1/LC.Wykaza¢,»enapi¦cienaokładkachkondensa- torastajesi¦nieograniczone,gdyt!1. 8.Ciałoomasie1gumocowanedospr¦»ynyowspółczynnikuspr¦»ysto±ci2g/s 2 jestzanurzone wlepkiejcieczyowspółczynnikutłumienia3g/s.Wchwilit 0 =0odci¡gamyciałowdół o0,5cmiswobodniepuszczamy.Wykaza¢,»eciałob¦dziezbli»ałosi¦zdołudopoło»enia równowagi,gdyt!1. 9.Ciałoomasie1gumocowanedospr¦»ynyowspółczynnikuspr¦»ysto±ci1g/s 2 jestzanurzone wlepkiejcieczyowspółczynnikutłumienia2g/s.Wchwilit 0 =0odci¡gamyciałowdół o0,25cminadajemymupr¦dko±¢1cm/sdogóry.Wykaza¢,»eciałoprzekroczyrazswoje poło»enierównowagi,ib¦dziezbli»ałosi¦do«zgóry,gdyt!1. Listanr7 1.Znale¹¢rozwi¡zaniaogólnenast¦puj¡cychukładówrówna«ró»niczkowych: y 0 =ysint z 0 =ye cost , b) 8 > > < > > : y 0 + 2y t =0 a) 1+ 2 t z 0 = y+z rozwi¡zuj¡cnajpierwpierwszerównanie,ipodstawiaj¡cwyliczonerozwi¡zaniedodrugiego. 2.Przypomocymetodyeliminacjiznale¹¢rozwi¡zanieogólnenast¦puj¡cychukładówrówna« ró»niczkowych: y 0 =ay+z z 0 =−y+az, b) ( y 0 =z 2 +sint z 0 = y 2z a) 3.Znale¹¢rozwi¡zanieogólneukładurówna«ró»niczkowych 8 < y 0 =− z t z 0 =− y t : dodaj¡ciodejmuj¡crównaniastronami. 4.Znale¹¢rozwi¡zanieogólneukładurówna«ró»niczkowych 8 < : y 0 =z−v z 0 =y 2 +z v 0 =y 2 +v odejmuj¡cdrugierównanieodpierwszegoidodaj¡ctrzecie. 2 . 6.Znale¹¢nat¦»eniepr¡dui=i(t)wobwodziezawieraj¡cympoł¡czoneszeregowoindukcyjno±¢ L,oporno±¢R,pojemno±¢C,orazsił¦elektromotoryczn¡u(t)=Esin(!t+)(E>0, >0,–stałe). 7.Obwódzawierapoł¡czoneszeregowoi ndukcy jno±¢L,pojemno±¢Cisił¦elektromotoryczn¡ [ Pobierz całość w formacie PDF ] |