rownania rozniczkowe rzedu drugiego, matematyka 1SD
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
R ó wnaniar ó »niczkowerzƒdudrugiego osta“ychwsp ó “czynnikach Wyk“ad(In»ynieria–rodowiska) •R ó wnanialiniowejednorodne •R ó wnanialinioweniejednorodne De nicja1.(r ó wnaniedrugiegorzƒduowsp ó “czynnikachsta“ych) R ó wnanier ó »niczkoweliniowerzƒdudrugiegoowsp ó “czynnikachsta“ychma posta¢ dx 2 +b dy dx +cy=f(x), (a6=0). R ó wnanietojestliniowewzglƒdemyijejpochodnych,natomiastfunkcjaf zmiennejxmo»eby¢dowolnejpostaci,aliterya,b,coznaczaj¡dowolnesta“e rzeczywiste. Uwaga1.Je»elif(x)0,tor ó wnanietonazywamyr ó wnaniemjednorod- nym(lubuproszczonym),wprzeciwnymprzypadkunazywamyjer ó wnaniem niejednorodnym(lubwpostaciog ó lnej). Twierdzenie1.(opostacirozwi¡zaniar ó wnanialiniowegorzƒdudrugiego osta“ychwsp ó “czynnikach) Je»eliznamyrozwi¡zanieog ó lney 1 (x,C 1 ,C 2 )r ó wnaniajednorodnegooraz jakie–rozwi¡zanieszczeg ó lney 2 (x)r ó wnanianiejednorodnego,torozwi¡zanie og ó lner ó wnanianiejednorodnegowyra»asiƒwzorem y=y 1 (x,C 1 ,C 2 )+y 2 (x). De nicja2.(r ó wnaniecharakterystyczne) R ó wnaniemcharakterystycznym,jednorodnegor ó wnanialiniowegorzƒdudrugiego osta“ychwsp ó “czynnikach,nazywamyr ó wnaniepostaci ar 2 +br+c=0 (a6=0), otrzymanezr ó wnania a d 2 y dx 2 +b dy dx +cy=0, (a6=0), przezpodstawienie y=e rx . Algorytmrozwi¡zaniajednorodnegor ó wnaniarzƒdudrugiegoo sta“ychwsp ó “czynnikach Tworzymyr ó wnaniecharakterystyczne: ar 2 +br+c=0 (a6=0). R ó wnanietomo»emie¢dwar ó »nepierwiastkirzeczywiste,jedenpierwiastek podw ó jnylubdwar ó »nepierwiastkizespolone. 1 a d 2 y 1.Je»eli=b 2 −4ac>0,tor ó wnaniecharakterystycznemadwar ó »ne pierwiastkirzeczywister 1 ir 2 ,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowejednorodnema rozwi¡zanieog ó lnepostaci y=C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x . 2.Je»eli=b 2 −4ac=0,tor ó wnaniecharakterystycznemaje- denpierwiastekpodw ó jnyr,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowejednorodnema rozwi¡zanieog ó lnepostaci y=(C 1 x+C 2 )e rx . 3.Je»eli=b 2 −4ac<0,tor ó wnaniecharakterystycznemadwar ó »ne pierwiastkizespoloner 1 =+i,r 1 =−i,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowe jednorodnemarozwi¡zanieog ó lnepostaci y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx). ‚ wiczenie1.Rozwi¡za¢r ó wnaniar ó »niczkowe: a)2y 00 −5y 0 −3y=0, b)4y 00 +12y 0 +9y=0, c)y 00 +4y 0 +13y=0. Uwaga2.(wyznaczanierozwi¡za«szczeg ó lnychr ó wna«liniowychniejednorod- nychdrugiegorzƒdu) Zgodnieztwierdzeniem1rozwi¡zanieog ó lner ó wnanialiniowegoniejednorod- negostopniadrugiegoosta“ychwsp ó “czynnikachjestpostaci: CORN=CORJ+CSzRN. AlgorytmwyznaczaniaCORJzosta“om ó wionypowy»ej.Rozwi¡zanieszczeg ó lne r ó wnanianiejednorodnego(CSzRN)znajdujemymetod¡przewidywa«lub metod¡uzmiennianiasta“ej. ‚ wiczenie2.Rozwi¡za¢r ó wnania: a)y 00 −4y+4y=8x 3 −36x, b)y 00 +4y=sin3x, c)y 00 −y=2xcosx+e x przywarunkachpocz¡tkowychx=0,y= 1 2 ,y 0 =1. 2 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |