rr, PWR, 8 semestr mgr, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Równania różniczkowe zwyczajnezadania z odpowiedziamiMaciej BurneckiSpis treściIRównania pierwszego rzędu223341 o rozdzielonych zmiennych2 jednorodne3 liniowe4 BernoulliegoIIRównania wyższych rzędów4455 sprowadzalne do równań rzędu pierwszego6 linioweIIIUkłady równań liniowych6677 jednorodnych8 niejednorodnychIVVVITransformacja Laplace’aStabilność punktów równowagiPowtórzenie7881VIIVIIIIXPierwsze kolokwiumDrugie kolokwiumEgzamin111315Część IRównania pierwszego rzędu1o rozdzielonych zmiennych1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Dozbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 5 litrów na minutę,a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli wzbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy irozpuszczania soli jest natychmiastowy.2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli.Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów naminutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów na minutę.Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że procesmieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.3. Pewna krzywa na płaszczyźnieOT Yprzecina oś rzędnych w punkcie (0, 1).W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osiąOTa stycznąjest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tejkrzywej.4. Pewna krzywa na płaszczyźnieOT Yprzecina oś odciętych w punkcie(1, 0). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osiąOTastyczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4. Wyznaczrównanie tej krzywej.5. Przy założeniuy(t)∈(π, 2π), rozwiąż równaniey(t)−6. Rozwiąż zagadnienie początkowe(a)1−t2dy−1 +y2(t)dt= 0,y12√=3,3costte= 0.sin(y(t))(b) 3y2(t)2−tdy−tdt= 0,y(0)= 0.Odpowiedzi, wskazówki21.y(t)= 0, 1e−0,05t.2.y(t)=(t−40)2800,3.y(t)=e2t.4.y(t)= 4−4et−1.5.y(t)= 2π−arc cosC−6. (a)y(t)=(b)y(t)=√t,1−t23sint+cos t te2.t2tln 2−2tln22+1.ln222jednorodne1. Rozwiąż równanie(a)t2dy+−y2(t) +y(t)t−t2dt= 0,(b)t dy−y(t)+tey(t)tdt= 0.2. Rozwiąż zagadnienie początkowey(t)t2−y2(t)−y(t)t−t2= 0,y(1)= 1.Odpowiedzi, wskazówki1. (a)y(t)=tluby(t)=t−t,ln|t|+C(b)y(t)=−tln(C−ln|t|).2.y(t)=ttgπ+ lnt.43liniowe1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmien-nianie stałej, rozwiąż równaniey(t) + 2y(t) = cost.2. Rozwiąż zagadnienie początkowe(a)t dy+ (y(t)−tet)dt= 0,y(1)= 1,(b) tgt dy+1y(t)+2cos2t t−1dt= 0,yπ4= ln4+π.4−π3. Pewna krzywa na płaszczyźnieOT Yprzecina oś rzędnych w punkcie (0, 3).W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osiąOTa stycznąjest równy różnicy rzędnej i odciętej punktu styczności. Wyznacz równanietej krzywej.34. Pewna krzywa na płaszczyźnieOT Yprzechodzi przez środek układu współ-rzędnych. W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osiąOTa styczną jest równy sumie rzędnej i podniesionej do kwadratu odciętejpunktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.Odpowiedzi, wskazówki1.y(t)=2 cost5+sint5ett+Ce−2t.+1.t1+t1−t2. (a)y(t)=et−(b)y(t)= ctgtln3.y(t)=t+ 1 + 2et..4.y(t)=−t2−2t−2 + 2et.4Bernoulliego1. Rozwiąż równanie(a)−dy+y(t)−y2(t)dt= 0,y3(t)−4dt= 0.(b) 3dy+y2(t)2. Rozwiąż zagadnienie początkowey(t) +y(t)=−Odpowiedzi, wskazówki1. (a)y(t)= 0 (funkcja stała) luby(t)=√(b)y(t)=34 +Ce−t.2.y(t)=32e−3t, y(0)= 1.y2(t)etC+et,(1−6t)e−3t.Część IIRównania wyższych rzędów5sprowadzalne do równań rzędu pierwszego1. Rozwiąż równanie(a)ty(t) + 2y (t) = 0,(b)ty(t) + 4y (t) = 0,(c)y(t) sint−y(t) cost= 0,4(d)y(t)y(t) + (y (t)) =y(t).π2. Rozwiąż zagadnienie początkowey(t) sint−2y (t) cost= 0,y2π= 4.2π,y2Odpowiedzi, wskazówki1. (a)y(t)=(b)y(t)=CtCt32=+D,+D,(c)y(t)=Ccost+D,(d)y(t)=C(funkcja stała) luby(t)−Cln|y(t)+C|−t−D= 0(rozwiązanie w postaci uwikłanej).2.y(t)= 2t−sin(2t) +π.6liniowe1. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równaniey(t)+3y (t)+2y(t) =e−t.2. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe39, y(0) =,42717(b)y(t) + 5y (t) + 6y(t) =−e−t, y(0)=, y(0) =−.22(a)y(t) +y(t)−2y(t) = 3e2t, y(0)=3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie(a)y(t) + 3y (t) + 2y(t) = et,(b)y(t) + 4y (t) + 3y(t) = e−3t,(c)y(t)−4y (t) + 4y(t) = 2e2t,(d)y(t)−4y (t)−5y(t) =t−sint.4. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż zagadnienie początkowe(a)y(t) + 5y (t) + 6y(t) = 6t2+ 16t + 13, jeśliy(0)= 4,y(0) =−7,(b)y(t)−y(t)−2y(t) = 2 cost+ 4 sint,jeśliy(0)= 3,y(0) = 3,71(c)y(t)−7y (t) + 10y(t) =e2t+t,jeśliy(0)=, y(0) =.10010Odpowiedzi, wskazówki1.y(t)=te−t+Ce−t+De−2t.2. (a)y(t)= 0, 75e2t+et−e−2t,(b)y(t)=−0,5e−t+ 3e−2t+e−3t.5 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |