rozdzial4

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdział4
Ci¡giniesko«czone
Wrozdzialetymwprowadzimypoj¦ciegranicyci¡gu.Dalejrozszerzymytopoj¦ciena
przypadekdowolnychfunkcji.Jakzauwa»yli±mywewst¦piejesttonajwa»niejszepoj¦cie
analizymatematycznej.
4.1Ci¡giniesko«czone
Analogiczniejakci¡gisko«czoneokre±lamyci¡giniesko«czone.
Definicjaci¡guniesko«czonego.
Niech
X
b¦dzieniepustymzbiorem.
Funkcj¦
a
:N
!
X
nazywamy
ci¡giemniesko«czonym
lub
ci¡giem
.
Par¦uporz¡dkowan¡(
n,a
(
n
)),gdzie
n
2
N,nazywamy
n
–
tymwyrazemci¡gu
,
n
–
wska¹nikiem
tegowyrazu,
a
(
n
)–
warto±ci¡
tegowyrazu.Piszemy
a
n
zamiast
a
(
n
).
Ci¡g
a
:N
!
X
zapisujemyrównie»(
a
1
,a
2
,...
)lub(
a
n
)
1
n
=1
lub(
a
n
)
n
2
N
lubkrótko
(
a
n
),piszemyrównie»
a
n
,
n
=1
,
2
,...
.
Je±liwszystkiewarto±cici¡gu(
a
n
)
n
2
N
nale»¡doRtoci¡gtennazywamy
liczbowym
.
Uwaga4.1.1.
Ci¡gimo»naokre±li˙czapomoc¡wzoru,np.
a
n
=
1
p
5
"
1+
p
5
!
n
1
−
p
5
!
n
#
−
, n
2
N
.
2
2
Mo»naci¡gokre±li¢indukcyjnie,np.
a
1
=1,
a
2
=1oraz
a
n
=
a
n
−
1
+
a
n
−
2
dla
n>
2.
Ci¡gtennazywamy
ci¡giemFibonacci’ego
(
1
).
Ci¡gimo»naokre±la¢przezpodanie”przepisu”wyliczaniajegowyrazów,np.
a
n
jest
sum¡wszystkichliczbpierwszychmniejszychod
n
,gdzieprzyjmujemy
a
1
=
a
2
=0.
Uwaga4.1.2.
Poniewa»ci¡gis¡funkcjami,wi¦cwszystkiepoj¦ciadotycz¡cefunkcjiprze-
nosz¡si¦naci¡gi,wszczególno±ci,poj¦cie
ró»nowarto±ciowo±cici¡guizbioruwarto±ci
.
Dlaci¡gówliczbowychmamyokre±lonepoj¦cia
ograniczono±cici¡gu,ograniczono±ciz
góryizdołu
,
kresugórnegoidolnego
,
najmniejszejinajwi¦kszejwarto±ci
,poj¦cia
sumy,
1
Przyjmuj¡c
X
=R
2
,
x
=(1
,
1)oraz
f
:
X
×
N
!
X
okre±lonewzorem
f
(
x,y,n
)=(
x
+
y,x
)
dostajemyci¡g
'
n
=(
a
n
,b
n
),
n
2
Nokre±lonyindukcyjnieprzez
x
i
f
.Wówczas(
a
n
)jestszukanym
ci¡giem.
61
62
ROZDZIAŁ4.CIGINIESKOCZONE
ró»nicy,iloczynu,ilorazuci¡gów
,
iloczynuci¡guprzezliczb¦
.Mamyrównie»okre±lone
poj¦cie
monotoniczno±cici¡gu
wszczególno±cipoj¦cia
ci¡gu±ci±lerosn¡cego,rosn¡cego,
malej¡cego,±ci±lemalej¡cego
.
Łatwoprzezindukcj¦sko«czon¡pokazujemy
Własno±¢4.1.3.
Niech
(
a
n
)
b¦dzieniesko«czonymci¡giemliczbowym.
(a)
Ci¡g
(
a
n
)
jestrosn¡cywtedyitylkowtedy,gdy
dlaka»degon
2
N
zachodzia
n
6
a
n
+1
.
(b)
Ci¡g
(
a
n
)
jest±ci±lerosn¡cywtedyitylkowtedy,gdy
dlaka»degon
2
N
zachodzia
n
<a
n
+1
.
(c)
Ci¡g
(
a
n
)
jestmalej¡cywtedyitylkowtedy,gdy
dlaka»degon
2
N
zachodzia
n
>
a
n
+1
.
(d)
Ci¡g
(
a
n
)
jest±ci±lemalej¡cywtedyitylkowtedy,gdy
dlaka»degon
2
N
zachodzia
n
>a
n
+1
.
Uwaga4.1.4.
B¦dziemymówi¢,»e
prawiewszystkiewyrazyci¡gu
maj¡okre±lon¡wła-
sno±¢,gdywłasno±¢t¦maj¡wszystkiewyrazyci¡guzwyj¡tkiemsko«czonejichilo±ci.
Mówimy,»e
dladostateczniedu»ych
liczbnaturalnychzachodziokre±lonawłasno±¢,
gdyistnieje
N
2
R,»ewłasno±¢tazachodzidlawszystkichliczbnaturalnychwi¦kszych
od
N
.
Wszczególno±ci:prawiewszystkiewyrazyci¡gumaj¡okre±lon¡własno±¢wtedyitylko
wtedy,gdymaj¡t¦własno±¢dladostateczniedu»ychwska¹ników.
Naprzykładci¡g
a
n
=
n
maprawiewszystkiewyrazywi¦kszeod2idladostatecznie
du»ychwska¹ników,jegowarto±cis¡wi¦kszeod2.Niemo»nategosamegopowiedzie¢
oci¡gu
a
n
=(
−
1)
n
n
.Tenostatnici¡gmaniesko«czeniewielewyrazówdodatnichi
niesko«czeniewielewyrazówujemnych.
4.2Granicaci¡gu
Definicjagranicyci¡gu.
Niech(
a
n
)
n
2
N
b¦dzieci¡giemliczbowymniesko«czonymoraz
g
2
R.Mówimy,»eliczba
g
jest
granic¡
tego
ci¡gu
,gdydlaka»dego
">
0istnieje
N
2
R
takie,»edlaka»dego
n
2
Nspełniaj¡cegowarunek
n>N
zachodzi
|
a
n
−
g
|
<"
.Faktten
zapisujemylim
Uwaga4.2.1.
Niech
(
a
n
)
n
2
N
b¦dzieci¡giemliczbowym,g
2
R
.Wówczas
lim
n
!1
a
n
=
g
wtedyitylkowtedy,gdy
8
">
0
9
N
2
R
8
n
2
N
,n>N
|
a
n
−
g
|
<".
Ponadtowdefinicjigranicyci¡gumo»nazmienia¢”dlaka»degoN
2
R
”na”dlaka»-
degoNnale»¡cegodozbiorunieograniczonegozgóry”oraznierówno±ciostre”<”,”>”
n
!1
g
lub
a
n
!
g
.
Ci¡g(
a
n
)
n
2
N
nazywamy
zbie»nymdog
,gdymagranic¦równ¡
g
.Ci¡gnazywamy
zbie»nym
,gdymagranic¦,wprzeciwnymprzypadkuci¡gnazywamy
rozbie»nym
.
n
!1
a
n
=
g
lublim
n
!1
a
n
=
g
lub
a
n
−!
4.2.GRANICACIGU
63
odpowiednionanierówno±cinieostre”
6
”,”
>
”zwyj¡tkiemjednejnierówno±ci”">
0
”
iuzyskanywarunekb¦dzierównowa»nydefinicji.Wszczególno±cidefinicjagranicyci¡gu
jestrównowa»nanast¦puj¡cej:
8
">
0
9
N
2
N
8
n
2
N
,n
>
N
|
a
n
−
g
|
6
".
Uwaga4.2.2.
Bezpo±redniozdefinicjigranicyci¡gudostajemy,»eje±li
(
a
n
)
n
2
N
jestci¡-
giemliczbowymioraza
2
R
,to
n
!1
a
n
=
awtedyitylkowtedy,gdy
lim
n
!1
(
a
n
−
a
)=0
.
n
!1
a
n
=0
wtedyitylkowtedy,gdy
lim
n
!1
|
a
n
|
=0
.
Własno±¢4.2.3.
Niech
(
a
n
)
n
2
N
,
(
b
n
)
n
2
N
b¦d¡niesko«czonymici¡gamiliczbowymizbie»-
nymiodpowiedniodoa,b
2
R
.Wówczasdlaka»dego">
0
istniejeN
2
N
takie,»edla
ka»degon
2
N
,n>Nzachodzi
|
a
n
−
a
|
<"oraz
|
b
n
−
b
|
<".
Dowód.
Istotnie,wobecuwagu4.2.1dlaustalonego
">
0istniej¡
N
1
,N
2
2
Ntakie,
»edla
n>N
1
mamy
|
a
n
−
a
|
<"
orazdla
n>N
2
mamy
|
b
n
−
b
|
<"
.Zatembior¦c
N
=max
{
N
1
,N
2
}
dla
n>N
mamy
|
a
n
−
a
|
<"
oraz
|
b
n
−
b
|
<"
.Todajetez¦.
Podamyterazpodstawowewłasno±cici¡gówzbie»nych.
Własno±¢4.2.4.
Niech
(
a
n
)
n
2
N
,
(
b
n
)
n
2
N
b¦d¡ci¡gamiliczbowymioraza,b
2
R
.
(a)
Je±li
lim
n
!1
a
n
=
ai
lim
n
!1
a
n
=
b,toa
=
b.
n
!1
b
n
=
boraza
n
6
b
n
dlaprawiewszystkichn
2
N
,toa
6
b.
(c)
Je±lia
n
=
b
n
dlaprawiewszystkichn
2
N
,to
n
!1
a
n
=
a,
lim
n
!1
b
n
=
a.
(d)
Je±liistniejek
2
N
takie,zea
n
=
b
n
+
k
dlaprawiewszystkichn
2
N
,to
lim
n
!1
a
n
=
a wtedyitylkowtedy,gdy
lim
lim
n
!1
a
n
=
a wtedyitylkowtedy,gdy
lim
n
!1
b
n
=
a.
Dowód.
Ad.(a)Wystarczypokaza¢,»edlaka»dego
>
0mamy
|
a
−
b
|
<
(
2
).
We¹mydowolne
>
0.Niech
"
=
/
2.Zzało»eniaiwłasno±ci4.2.3,istnieje
N
1
2
R
takie,»edla
n
2
N,
n>N
1
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
oraz
|
a
n
−
b
|
<"
,wi¦cmamy(a),gdy»
|
a
−
b
|
=
|
(
a
−
a
n
)
−
(
b
−
a
n
)
|
6
|
a
n
−
a
|
+
|
a
n
−
b
|
<"
+
"
=
.
Ad.(b)Poniewa»dlaprawieka»dego
n
2
Nzachodzi
a
n
6
b
n
,wi¦cistnieje
N
2
2
N
takie,»edla
n
2
N,
n>N
2
zachodzi
a
n
6
b
n
.
Wystarczypokaza¢,»edlaka»dego
>
0zachodzi
a
−
b<
.We¹mydowolne
>
0.
Niech
"
=
/
2.Wówczasistnieje
N
3
2
Rtakie,»edla
n
2
N,
n>N
3
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
2
Wtedy
|
a
−
b
|
jestograniczeniemdolnymzbioruR
+
,wi¦cmusiby¢
|
a
−
b
|
6
0.Poniewa»
|
a
−
b
|
>
0,
wi¦c
|
a
−
b
|
=0.
(a)lim
(b)lim
(b)
Je±li
lim
64
ROZDZIAŁ4.CIGINIESKOCZONE
oraz
|
b
n
−
b
|
<"
.Wszczególno±cidla
n>
max
{
N
2
,N
3
}
mamy0
6
b
n
−
a
n
oraz
a
−
a
n
<"
i
b
n
−
b<"
.St¡dwynika(b),gdy»zpowy»szegomamy
a
−
b
6
(
a
−
b
)+(
b
n
−
a
n
)=(
a
−
a
n
)+(
b
n
−
b
)
<"
+
"
=
.
n
!1
b
n
=
a
.
Podobniejakwdowodziepunktu(b)istnieje
N
4
2
Ntakie,»edla
n>N
4
zachodzi
a
n
=
b
n
.We¹mydowolne
">
0.Wówczasistnieje
N
5
2
R,»edla
n
2
Ntakich,»e
n>N
5
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
.Wszczególno±cidla
n>
max
{
N
4
,N
5
}
mamy
|
b
n
−
a
|
=
|
a
n
−
a
|
<"
.
To,wobecdowolno±ci
">
0oznacza,»elim
n
!1
b
n
=
a
idaje(c).
n
!1
a
n
=
a
.We¹mydowolne
">
0iniech
N
6
2
Rb¦dzietakie,
»edla
n
2
N,
n>N
6
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
.Poniewa»dla
n>N
6
+
k
mamy
n
−
k>N
6
,
wi¦c
|
b
n
−
a
|
=
|
a
n
−
k
−
a
|
<"
.Todaje,»elim
n
!1
b
n
=
a
.
n
!1
b
n
=
a
.We¹mydowolne
">
0oraz
N
7
2
Rtakie,»edla
n
2
N,
n>N
7
mamy
|
b
n
−
a
|
<"
.Wówczasdla
n
2
N,
n>N
7
mamy
n
+
k
2
Ni
n
+
k>N
7
,
wi¦c
|
a
n
−
a
|
=
|
b
n
+
k
−
a
|
<"
.Todaje,»elim
n
!1
a
n
=
a
iko«czydowód.
Zmianakolejno±ciwyrazówci¡guniewpływanaistnieniegranicy,±wiadczyotym
Własno±¢4.2.5.
Niech
(
a
n
)
n
2
N
b¦dzieci¡giemliczbowymi,niecha
2
R
orazniech
f
:N
!
N
b¦dziebijekcj¡.Wówczas
n
!1
a
f
(
n
)
=
a.
Dowód.
Poniewa»
f
−
1
:N
!
Nrównie»jestbijekcj¡,wi¦cwystarczyudowodni¢,»e
zezbie»no±cilim
n
!1
a
n
=
a
wynikazbie»no±¢lim
n
!1
a
f
(
n
)
=
a
.
n
!1
a
n
=
a
.We¹mydowolne
">
0.Wtedyistnieje
N
2
N,»edla
n
2
N,
n>N
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
.Inaczej,dlaka»dego
n
2
N
\
F
N
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<"
.
Niech
A
=
f
−
1
(F
N
).Zbiór
A
jestsko«czonyiniepusty,wi¦cposiadamaksimum(patrz
twierdzenie2.6.4).Oznaczmy
N
1
=max
A
.Wtedydla
n
2
N,
n>N
1
mamy
f
(
n
)
2
N
\
F
N
,zatem
|
a
f
(
n
)
−
a
|
<"
.Todaje,»elim
n
!1
a
f
(
n
)
=
a
iko«czydowód.
Twierdzenie4.2.6.(otrzechci¡gach).
Niech
(
a
n
)
n
2
N
,
(
b
n
)
n
2
N
,
(
c
n
)
n
2
N
b¦d¡ci¡gami
liczbowymitakimi,»e
a
n
6
b
n
6
c
n
dlaprawiewszystkich
n
2
N
.
n
!1
b
n
=
g.
Dowód.
Zzało»enia,»e
a
n
6
b
n
6
c
n
dlaprawiewszystkich
n
2
Nwynika,»eistnieje
N
1
2
R,»edla
n>N
1
zachodzi
a
n
6
b
n
6
c
n
.We¹mydowolne
">
0.Zdefinicjigranicy
ci¡guistnieje
N
2
2
R,»edla
n>N
2
zachodzi
|
a
n
−
g
|
<"
oraz
|
c
n
−
g
|
<"
.Zatemdla
n>
max
{
N
1
,N
2
}
mamy
−
"<a
n
−
g
oraz
c
n
−
g<"
,wi¦c
n
!1
c
n
=
g,to
lim
−
"<a
n
−
g
6
b
n
−
g
6
c
n
−
g<".
Todaje
|
b
n
−
g
|
<"
.Reasumuj¡clim
n
!1
b
n
=
g
.
n
!1
a
n
=
a
wynikazbie»no±¢lim
Ad.(c)Zewzgl¦dunasymetri¦warunków,wystarczyudowodni¢,»ezezbie»no±ci
lim
Ad.(d)Załó»my,»elim
Załó»my,»elim
n
!1
a
n
=
a
wtedyitylkowtedy,gdy lim
lim
Załó»my,»elim
Je±lig
2
R
oraz
lim
n
!1
a
n
=
gi
lim
4.2.GRANICACIGU
65
Własno±¢4.2.7.
Ka»dyci¡gliczbowyzbie»nyjestograniczony.
Dowód.
Niech(
a
n
)
n
2
N
b¦dzieci¡giemliczbowymzbie»nymdo
a
2
R.Wtedyistnieje
N
2
N,»edla
n
2
N,
n>N
zachodzi
|
a
n
−
a
|
<
1,wszczególno±ci
a
−
1
6
a
n
6
a
+1.Zbiór
{
a
n
:
n
2
N
,n
6
N
}
jestsko«czonyiniepusty,wi¦cmaminimumimaksimum.Oznaczmy
minimumtegozbioruprzez
m
1
amaksimumprzez
M
1
.Kład¡c
m
=min
{
m
1
,a
−
1
}
oraz
M
=max
{
M
1
,a
+1
}
dostajemy,»e
m
jestograniczeniemdolnymoraz
M
jest
ograniczeniemgórnymzbioruwarto±cici¡gu(
a
n
)
n
2
N
.
Twierdzenie4.2.8.
Ka»dyci¡gmonotonicznyiograniczonyjestzbie»ny.
n
!1
a
n
=
a
.Istotnie,we¹-
mydowolne
">
0.Poniewa»
a
−
"<a
,wi¦czdefinicjisup
A
istnieje
a
k
2
A
,»e
a
k
>a
−
"
.
Zatem,zmonotoniczno±cici¡gu(
a
n
)
n
2
N
,dla
n>k
mamy
a
−
"<a
k
6
a
n
6
a<a
+
"
,
czyli
|
a
n
−
a
|
<"
.Todaje,»elim
n
!1
a
n
=
a
iko«czydowód.
Twierdzenie4.2.9.(odziałaniachnagranicachci¡gów).
Niech
(
a
n
)
n
2
N
,
(
b
n
)
n
2
N
b¦d¡ci¡gamiliczbowymizbie»nymiorazniech
lim
n
!1
a
n
=
a,
lim
n
!1
b
n
=
b,gdziea,b
2
R
.
Wówczas:
n
!1
(
a
n
+
b
n
)=
a
+
b.
(b)lim
n
!1
(
a
n
−
b
n
)=
a
−
b.
(c)
Je±lic
2
R
,to
lim
n
!1
(
ca
n
)=
ca.
n
!1
(
a
n
b
n
)=
ab.
(e)
Je±lib
6
=0
orazb
n
6
=0
dlan
2
N
,to
lim
n
!1
(
a
n
b
n
)=
a
b
.
Dowód.
Zzało»enia,»elim
n
!1
a
n
=
a
,lim
n
!1
b
n
=
b
orazwłasno±ci4.2.3,dlaka»dego
>
0istnieje
N
(
)
2
Ntakie,»e
(4.1) dla
n
2
Ntakich,»e
n>N
(
)zachodzi
|
a
n
−
a
|
<
oraz
|
b
n
−
b
|
<.
Ad.(a)i(b)We¹mydowolne
">
0.Z(4.1)dla
n
2
N,
n>N
(
"
2
)mamy
|
(
a
n
+
b
n
)
−
(
a
+
b
)
|
6
|
a
n
−
a
|
+
|
b
n
−
b
|
<
"
2
+
"
2
=
",
codaje(a).Ponadto
|
(
a
n
−
b
n
)
−
(
a
−
b
)
|
6
|
a
n
−
a
|
+
|
b
n
−
b
|
<
"
2
+
"
2
=
"
,codaje(b).
Ad.(c)Je±li
c
=0,topunkt(c)jestoczywisty.Załó»my,»e
c
6
=0.We¹mydowolne
">
0.Z(4.1),dla
n>N
(
"
|
c
|
)mamy
|
ca
n
−
ca
|
=
|
c
||
a
n
−
a
|
<
|
c
|
"
|
c
|
=
"
.Todaje(c).
Dowód.
Niech(
a
n
)
n
2
N
b¦dzieci¡giemmonotonicznymiograniczonym.Rozwa»my
przypadek,gdyci¡gtenjestrosn¡cy.Wprzypadku,gdyci¡gjestmalej¡cy,rozumowanie
jestanalogiczne.Zzało»eniamamy,»ezbiór
A
=
{
a
n
:
n
2
N
}
jestograniczonyioczywi-
±ciejestniepusty.Zatemistnieje
a
=sup
A
2
R.Poka»emy,»elim
(a)lim
(d)lim
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl