rozklad dwum, Matematyczna modele ryzyka, Łochowski
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2009-02-17 Rozkład dwumianowy Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Rozkład dwumianowy • Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie 0-1: X X 1 ,..., n P X p P X ( 1) 1 0 . i = = = − ( i = ) • Zmienną o rozkładzie dwumianowym Bin(n,p) definiujemy jako sumę S X X X n = 1 2 . + + + > n • Rozkład zmiennej dany jest wzorem S n P S k p p k ( ) = = Å Õ Æ Ö k ( 1 . − ) n k − n Momenty rozkładu dwumianowego • Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego k P P h h m m h h k & ' & ' k º É Ê k h + B M ; ; Õ ; Õ Õ + Õ ; » h . < » Ê Ê k k » ¼ Ë h ; - h ; - • Prościej - wykorzystujemy tylko liniowość wartości oczekiwanej, , nie korzystamy zaś z niezależności zmiennych B B B & ' U V U V ) ; ) U U . ) ) 7 > k & ' . P U U U U km k ; ) ) ; ) ) ; > k B B . > k + 1 Ä Ô » Ê ¹ ¹ » Ê B B 2009-02-17 Momenty rozkładu dwumianowego, c.d. • Wariancja rozkładu dwumianowego & ' & '& ' k / / A M B P P h h P ; ; Õ + ¹ k k k h ; - º É Ê k » Ê k m m h km h & ' & ' k h + / ¹ » h ; Õ Õ + Õ + ; . < Ê » Ê » ¼ Ë h ; - • Prościej - korzystamy z niezależności U U . ) ) k > ; ) ) ; ) ) ; + & ' & ' & ' & ' & ' P U U U U km m / > k . k / > / . + . k Rozkład dwumianowy w praktyce • Ubezpieczyciel posiada w portfelu ubezpieczonych od kradzieży samochodów na terenie miasta X. • Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu na terenie X wynosi k ; .---- m; -+--.+ & ' • jest rozkładem liczby skradzionych samochodów. k - .----)-+--. M & ' .- ; .- ¹ º É Ê .---- Ê -+--. -+666 <<< h Õ ; .---- + Ê » Ê k » ¼ Ë h h ; - Przybliżenie rozkładem Poissona Rozkład dwumianowy Bin(n,p) • Formuła Rozkład Poissona Poi (λ) • Formuła h j j k P h mn h º É Ê M & ' b ; ; + & ' » Ê h M ; ; Ê h k h + » Ê k » ¼ Ë j ; km k P(Sn = k) P(Y=k) błĢd wzglħdny przybliŇenia 0 4,52E-05 4,54E-05 -0,50% 1 0,000452 0,000454 -0,40% 2 0,002263 0,00227 -0,31% 3 0,007549 0,007567 -0,23% 4 0,018886 0,018917 -0,16% 5 0,037795 0,037833 -0,10% 6 0,063024 0,063055 -0,05% 7 0,09007 0,090079 -0,01% 8 0,112622 0,112599 0,02% 9 0,12516 0,12511 0,04% 10 0,125173 0,12511 0,05% 2 » Ê / A A A A P ?fk » » h P » Ê V h » » Ê 2009-02-17 Rozkład dwumianowy w praktyce, c. d. • Ubezpieczyciel posiada w portfelu ubezpieczonych od kradzieży rowerów na terenie miasta X. • Prawdopodobieństwo kradzieży roweru na terenie X wynosi k ; .--- m; -+.+ & ' • jest rozkładem liczby skradzionych rowerów. k - .---)-+. M & ' .-- P ; .--- .-- -+. -+6 <<< ¹ º É Ê Ê h Õ ; .--- + h k » ¼ Ë h h ; - Przybliżenie rozkładem normalnym • Przybliżenie rozkładem Poissona i rozkładem normalnym k P(Sn = k) P(Y=k) błĢd wzglħdny przybliŇenia k P(Sn = k) Ŋ((k-np)/(npq)^.5) błĢd wzglħdny przybliŇenia 95 0,037334 0,036012 3,54% 95 0,037334 0,036599077 1,97% 96 0,039106 0,037513 4,07% 96 0,039106 0,038475552 1,61% 97 0,040494 0,038673 4,50% 97 0,040494 0,040001298 1,22% 98 0,041458 0,039462 4,81% 98 0,041458 0,041128022 0,80% 99 0,04197 0,039861 5,03% 99 0,04197 0,041819233 0,36% 100 0,042017 0,039861 5,13% 100 0,042017 0,042052209 -0,08% 101 0,041601 0,039466 5,13% 101 0,041601 0,041819233 -0,53% 102 0,04074 0,038692 5,03% 102 0,04074 0,041128022 -0,95% 103 0,039465 0,037566 4,81% 103 0,039465 0,040001298 -1,36% 104 0,037821 0,036121 4,50% 104 0,037821 0,038475552 -1,73% 105 0,03586 0,034401 4,07% 105 0,03586 0,036599077 -2,06% • Lepsze przybliżenie - rozkładem normalnym - twierdzenie graniczne de Moivre’a – Laplace’a: & ' & ' & ' P P P K , -). k k k +B A - Przybliżenie rozkładem normalnym c.d. • Jeżeli chcemy obliczyć to stosujemy przybliżenie: M & ' . h P h k / ) & ' º h km P k m h k m + + + Ê É M h P h ; Ê M » . k / » Ê . k / » Ê kmn kmn kmn h km h km kmn » ¼ Ë º É º É » ) + + + -+2 Ê » -+2 Ê D » / Ê +D » . Ê ) » » Ê Ê » » Ê Ê ¼ Ë ¼ Ë » kmn • gdzie - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego D . D ; Å & ' u b + + q / ,/ aq / n + 3 P ?fk » Ê » » Ê » Ê » Ê Ê Ê » u 2009-02-17 Błąd dla przybliżenia rozkładem Poissona i rozkładem normalnym • Błąd bezwzględny przybliżenia rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona można oszacować za pomocą wzoru & ' & ' j / M M P > V > ¦ + ¦ + k k • Błąd bezwzględny przybliżenia rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym można oszacować za pomocą wzoru º É » P k m + Ê ) m n / / Ê &' M » +D k q q + » Ê » ¼ Ë kmn kmn 4 Ê » Ê [ Pobierz całość w formacie PDF ] |