rozdzial9

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdział9
Funkcjapierwotna
9.1Funkcjapierwotna
Definicjafunkcjipierwotnej.
Niech
f
b¦dziefunkcj¡okre±lon¡naprzedziale
P
.Mó-
wimy,»efunkcja
F
:
P
!
Rjest
funkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedzialeP
,gdy
F
jest
funkcj¡ró»niczkowaln¡i
F
0
(
x
)=
f
(
x
)dla
x
2
P
.
Własno±¢9.1.1.
NiechPb¦dzieprzedziałemorazniechF
:
P
!
R
b¦dziefunkcj¡
pierwotn¡funkcjifwprzedzialeP.WówczasfunkcjaF
1
:
P
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡
funkcjifwprzedzialePwtedyitylkowtedy,gdyF
−
F
1
jestfunkcj¡stał¡
(w
P
)
.
Dowód.
Załó»my,»e
F
1
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.Wówczas
mamy,»e
F
0
(
x
)=
f
(
x
)=
F
0
1
(
x
)dla
x
2
P
.Zatemzwniosku7.3.11dostajemy,»e
F
−
F
1
jestfunkcj¡stał¡.Odwrotnie,je±li
F
−
F
1
iestfunkcj¡stał¡,to
F
0
1
(
x
)=
F
0
(
x
)=
f
(
x
)dla
x
2
P
,czyli
F
1
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.
Wniosek9.1.2.
Je±lifunkcjafmawprzedzialeP funkcj¦pierwotn¡,todlaka»dego
x
0
2
Porazy
0
2
R
istniejedokładniejednafunkcjapierwotnaF
:
P
!
R
funkcjifw
przedzialePtaka,»eF
(
x
0
)=
y
0
.
Dowód.
We¹mydowolne
x
0
2
P
oraz
y
0
2
R.Niech
F
1
:
P
!
Rb¦dziefunkcj¡
pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.Kład¡c
F
(
x
)=
F
1
(
x
)+
y
0
−
F
1
(
x
0
),
x
2
P
,w
my±lwłasno±ci9.1.1mamy,»e
F
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
oraz
F
(
x
0
)=
y
0
.
Poka»emy,»efunkcj¡pierwotna
F
funkcji
f
w
P
taka,»e
F
(
x
0
)=
y
0
jestokre±lona
jednoznacznie.Istotnie,niech
F
2
:
P
!
Rb¦dziefunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
w
P
tak¡,
»e
F
2
(
x
0
)=
y
0
.Wmy±lwłasno±ci9.1.1mamy,»eistnieje
C
2
R,»e
F
(
x
)
−
F
2
(
x
)=
C
dla
x
2
P
.Poniewa»
F
(
x
0
)
−
F
2
(
x
0
)=0,wi¦c
C
=0.Todajetez¦.
Zwłasno±cipochodnejfunkcjidostajemyponi»szewłasno±cifunkcjipierwotnej.
Twierdzenie9.1.3.
NiechPb¦dzieprzedziałemoraz,
2
R
.Je±liF
1
,F
2
:
P
!
R
s¡funkcjamipierwotnymiodpowiedniofunkcjif
1
,f
2
wprzedzialeP,toF
1
+
F
2
jest
funkcj¡pierwotn¡funkcjif
1
+
f
2
wprzedzialeP.
207
208
ROZDZIAŁ9.FUNKCJAPIERWOTNA
Dowód.
Bezpo±rednioztwierdzeniaodziałaniachnapochodnejfunkcji(twierdzenie
7.2.2)dostajemy(
F
1
+
F
2
)
0
=
F
0
1
+
F
0
2
=
f
1
+
f
2
wprzedziale
P
.
Uwaga9.1.4.
Odpowiedniktwierdzenia9.1.3dlailoczynufunkcjiniezachodzi.Miano-
wicie,wpunkcie9.2poka»emy»e,istniej¡funkcjeposiadaj¡cefunkcjepierwotnewprze-
dziale,którychiloczynniemafunkcjipierwotnej.
Twierdzenie9.1.5.
NiechPb¦dzieprzedziałemorazniechf,gb¦d¡funkcjamiró»niczko-
walnymiwprzedzialeP.Je±liF
:
P
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif
·
g
0
wprzedziale
P,tofg
−
Fjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif
0
·
gwprzedzialeP.
Dowód.
Istotnie,bezpo±rednioztwierdzeniaopochodnejiloczynudwóchfunkcji
(twierdzenie7.2.2)dostajemy(
fg
)
0
=
f
0
g
+
fg
0
,wi¦c(
fg
−
F
)
0
=
f
0
g
wprzedziale
P
.
Twierdzenie9.1.6.
NiechP,Qb¦d¡przedziałamiorazniech'
:
Q
!
R
b¦dziefunkcj¡
ró»niczkowaln¡tak¡,»e'
(
Q
)
P.Je±liF
:
P
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifw
przedzialeP,toF
'
:
Q
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif
'
·
'
0
wprzedzialeQ.
Dowód.
Ztwierdzenia7.2.3,mamy(
F
'
)
0
=(
F
0
'
)
·
'
0
=(
f
'
)
·
'
0
w
P
.
Uwaga9.1.7.
Niechfb¦dziefunkcj¡ró»niczkowaln¡wprzedzialePtak¡,»ef
(
x
)
>
0
dlax
2
P.Wprostzdefinicjifunkcjipierwotnejmamy
(a)
FunkcjaF
(
x
)=ln
f
(
x
)
,
x
2
Pjestfunkcj¡pierwotn¦funkcji
f
0
q
f
wprzedzialeP.
(b)
FunkcjaF
(
x
)=2
f
(
x
)
,x
2
Pjestfunkcj¡pierwotn¦funkcji
f
0
p
f
wprzedzialeP.
Uwaga9.1.8.
Niechfb¦dziefunkcj¡ró»niczkowaln¡wprzedzialePtak¡,»ef
(
x
)
<
0
dlax
2
P.Wprostzdefinicjifunkcjipierwotnejmamy
(a)
FunkcjaF
(
x
)=ln
|
f
(
x
)
|
,x
2
Pjestfunkcj¡pierwotn¦funkcji
f
0
p
|
f
|
wP.
Twierdzenie9.1.9.
Je±lifunkcjafmafunkcj¦pierwotn¡wprzedzialeP,tofspełnia
wPwłasno±¢Darboux,toznaczydlaka»dychx
1
,x
2
2
P,x
1
< x
2
orazka»degoc
2
R
,
(a)
je±lif
(
x
1
)
< c < f
(
x
2
)
,toistniejex
0
2
(
x
1
,x
2
)
,»ef
(
x
0
)=
c,
(b)
je±lif
(
x
1
)
> c > f
(
x
2
)
,toistniejex
0
2
(
x
1
,x
2
)
,»ef
(
x
0
)=
c.
Dowód.
Niech
F
:
P
!
Rb¦dziefunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.Wów-
czas
F
0
(
x
)=
f
(
x
)dla
x
2
P
iztwierdzeniaDarboux7.3.3dostajemy,»e
f
spełnia(a)i
(b).
Uwaga9.1.10.
Wmy±ltwierdzenia9.1.9mamy,»efunkcjaf
(
x
)=[
x
]
,x
2
R
,gdzie
[
x
]
oznaczacało±¢zliczbyx,niemafunkcjipierwotnej,bowiemfunkcjataniespełnia
warunków(a)i(b)wtwierdzeniu9.1.9.Mo»nar´wnie»udowodni¢,»eistniej¡funkcje
spełniaj¡cepowy»szewarunki(a)i(b),któreniemaj¡funkcjipierwotnych.
f
wprzedzialeP.
(b)
FunkcjaF
(
x
)=
−
2
q
|
f
(
x
)
|
,x
2
Pjestfunkcj¡pierwotn¦funkcji
f
0
9.2.OFUNKCJIPIERWOTNEJFUNKCJICIGŁEJ
209
Własno±¢9.1.11.
NiechPb¦dzieprzedziałem,x
0
2
Pb¦dzietakimpunktem,»ezbiory
P
1
=
{
x
2
P
:
x
6
x
0
}
,P
2
=
{
x
2
P
:
x
>
x
0
}
s¡przedziałami.Niechf
:
P
!
R
.Je±li
(i) F
1
:
P
1
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedzialeP
1
,
(ii) F
2
:
P
2
!
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedzialeP
2
,
(iii) F
1
(
x
0
)=
F
2
(
x
0
)
,
tofunkcjaF
:
P
!
R
okre±lonawzorami
F
(
x
)=
F
1
(
x
)dla
x
2
P
1
i
F
(
x
)=
F
2
(
x
)dla
x
2
P
2
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedzialeP.
Dowód.
Wobec(iii)mamy,»efunkcja
F
jestpoprawnieokre±lona.We¹mydowolny
x
2
P
.Je±li
x < x
0
,toz(i)mamy
F
0
(
x
)=
F
0
1
(
x
)=
f
(
x
).Je±li
x > x
0
,toz(ii)mamy
F
0
(
x
)=
F
0
2
(
x
)=
f
(
x
).Je±li
x
=
x
0
,tozokre±lenia
F
iz(i)oraz(iii)mamy
lim
x
!
x
−
0
F
(
x
)
−
F
(
x
0
)
x
−
x
0
=lim
F
1
(
x
)
−
F
1
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
(
x
0
)
x
!
x
−
0
orazz(ii)
F
(
x
)
−
F
(
x
0
)
F
2
(
x
)
−
F
2
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
(
x
0
)
.
Zatem
F
0
(
x
0
)=
f
(
x
0
).Reasumuj¡c
F
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.
lim
x
!
x
+
0
x
−
x
0
=lim
x
!
x
+
0
9.2Ofunkcjipierwotnejfunkcjici¡głej
Twierdzenie9.2.1.
Je±lici¡gfunkcyjnyf
n
:[
a,b
]
!
R
,n
2
N
,jestjednostajniezbie»ny
dofunkcjif
:[
a,b
]
!
R
orazka»dafunkcjaf
n
,n
2
N
mawprzedziale
[
a,b
]
funkcj¦
pierwotn¡F
n
:[
a,b
]
!
R
,tofunkcjafmafunkcj¦pierwotn¡wprzedziale
[
a,b
]
.Je±li
dodatkowodlapewnegox
0
2
[
a,b
]
,ci¡g
(
F
n
(
x
0
))
1
n
=1
jestzbie»ny,toci¡g
(
F
n
)
1
n
=1
jest
jednostajniezbie»nyijegogranicajestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedziale
[
a,b
]
.
Dowód.
Niech
x
0
2
[
a,b
].Przyjmuj¡c
˜
F
n
(
x
)=
F
n
(
x
)
−
F
n
(
x
0
),
x
2
[
a,b
],zwniosku
9.1.2,mamy,»e
˜
F
n
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
n
dla
n
2
N.Zatemci¡gfunkcji
ró»niczkowalnych(
˜
F
n
)
1
n
=1
jestzbie»nywpunkcie
x
0
ici¡gjegopochodnych(
f
n
)
1
n
=1
jest
jednostajniezbie»nydofunkcji
f
wprzedziale[
a,b
].Wmy±ltwierdzenia8.5.1,ci¡g(
˜
F
n
)
1
n
=
k
jest,wi¦cjednostajniezbie»nydopewnejfunkcjiró»niczkowalnej
˜
F
:[
a,b
]
!
Roraz
˜
F
0
(
x
)=lim
n
!1
˜
F
0
n
(
x
)=lim
n
!1
f
n
(
x
)=
f
(
x
) dla
x
2
[
a,b
]
.
Wkonsekwencji
˜
F
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale[
a,b
]oraz
˜
F
n
˜
F
.
Je±lidodatkowoci¡g(
F
n
(
x
0
))
1
n
=1
jestzbie»ny,toanalogiczniejakpowy»ej,wmy±l
twierdzenia8.5.1,ci¡g(
F
n
)
1
n
=
k
jestjednostajniezbie»nydopewnejfunkcjiró»niczkowalnej
F
:[
a,b
]
!
Roraz
F
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
w[
a,b
].Toko«czydowód.
Ztwierdzenia9.2.1dostajemynatychmiast
210
ROZDZIAŁ9.FUNKCJAPIERWOTNA
1
P
n
=1
f
n
,gdzief
n
:[
a,b
]
!
R
,n
2
N
,jestjedno-
stajniezbie»nydofunkcjif
:[
a,b
]
!
R
orazka»dafunkcjaf
n
,n
2
N
mawprzedziale
[
a,b
]
funkcj¦pierwotn¡F
n
:[
a,b
]
!
R
,tofunkcjafmafunkcj¦pierwotn¡wprzedziale
[
a,b
]
.Je±lidodatkowodlapewnegox
0
2
[
a,b
]
,szereg
1
P
F
n
(
x
0
)
jestzbie»ny,toszereg
n
=1
1
P
F
n
jestjednostajniezbie»nyijegosumajestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifwprzedziale
[
a,b
]
.
n
=1
Woparciuotwierdzenie9.2.1,poka»emy,»eka»dafunkcjaci¡gławprzedzialema
funkcj¦pierwotn¡wtymprzedziale.Udowodnimynajpierwlemat.
Lemat9.2.3.
Je±lif
:R
!
R
jestwielomianempostacif
(
x
)=
n
P
a
j
x
j
,x
2
R
,to
j
=0
n
P
wielomianF
(
x
)=
j
+1
x
j
+1
,x
2
R
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifw
R
.
j
=0
Dowód.
Przyoznaczeniachlematudostajemy
F
0
=
f
wR.Todajetez¦.
Twierdzenie9.2.4.(oistnieniufunkcjipierwotnejfunkcjici¡głej).
Je±liPjest
przedziałem,toka»dafunkcjaci¡głaf
:
P
!
R
mafunkcj¦pierwotn¡wprzedzialeP.
Dowód.
Niech
f
:
P
!
Rb¦dziefunkcj¡ci¡gł¡.
Załó»mynajpierw,»e
P
jestprzedziałemdomkni¦tym.WówczasztwierdzeniaWeier-
strassa8.8.7mamy,»eistniejeci¡gwielomianów(
W
n
)
1
n
=1
zbie»nyjednostajniedofunkcji
f
naprzedziale
P
.Wmy±llematu9.2.3,ka»dywielomian
W
n
,
n
2
Nmafunkcj¦pierwotn¡
w
P
.Zatemztwierdzenia9.2.1dostajemytez¦wtymprzypadku.
Niechteraz
P
b¦dziedowolnymprzedziałemorazniech
a,b
,
a < b
b¦d¡ko«cami
przedziału
P
.Niech
x
0
2
P
b¦dzieustalonympunktemtakim,»e
a < x
0
< b
.
Je±li
b
2
P
,tozprzypadkurozwa»onegonapocz¡tkudowodu,istniejefunkcjapier-
wotna
˜
F
funkcji
f
wprzedziale[
x
0
,b
].Ponadto,wobecwniosku9.1.2,mo»nazało»y¢,»e
˜
F
(
x
0
)=0.Je±li
b
62
P
,toistniejeci¡grosn¡cy(
x
n
)
1
n
=1
P
taki,»e
x
0
< x
n
dla
n
2
N
orazlim
[
x
0
,x
n
]=[
x
0
,b
)
,
n
2
N
wi¦cfunkcja
˜
F
:[
x
0
,b
)
!
Rokre±lonawzorem
˜
F
(
x
)=
F
n
(
x
)
,
je±li
x
2
[
x
0
,x
n
]
,
jestpoprawnieokre±lona.Ponadto
˜
F
(
x
0
)=0oraz
˜
F
0
(
x
)=
f
(
x
)dla
x
2
[
x
0
,b
),czyli
dla
x
2
P
,
x
>
x
0
.Reasumuj¡cistniejefunkcjapierwotna
˜
F
funkcji
f
wprzedziale
{
x
2
P
:
x
>
x
0
}
taka,»e
˜
F
(
x
0
)=0.
Wniosek9.2.2.
Je±liszeregfunkcyjny
a
j
n
!1
x
n
=
b
.Wmy±lpoprzedniego,wka»dymprzedziale[
x
0
,x
n
]istniejefunkcja
pierwotna
F
n
:[
x
0
,x
n
]
!
Rfunkcji
f
.Ponadtomo»nazało»y¢,»e
F
n
(
x
0
)=0.Wówczas,
zwłasno±ci9.1.1mamy
F
n
(
x
)=
F
m
(
x
)dla
n < m
oraz
x
2
[
x
0
,x
n
].Poniewa»
[
9.2.OFUNKCJIPIERWOTNEJFUNKCJICIGŁEJ
211
Analogiczniejakpowy»ejpokazujemy,»eistniejefunkcjapierwotna
˜
˜
F
funkcji
f
w
przedziale
{
x
2
P
:
x
6
x
0
}
taka,»e
˜
˜
F
(
x
0
)=0.
Poniewa»
˜
F
(
x
0
)=
˜
˜
F
(
x
0
),wi¦cbior¡cfunkcj¦
F
:
P
!
Rokre±lon¡wzorami
F
(
x
)=
˜
F
(
x
)dla
x
2
P
,
x
>
x
0
oraz
F
(
x
)=
˜
˜
F
(
x
)dla
x
2
P
,
x
6
x
0
,wmy±lwłasno±ci9.1.11
dostajemy,»e
F
jestfunkcj¡pierwotn¡funkcji
f
wprzedziale
P
.
Uwaga9.2.5.
Niech
(
f
n
)
1
n
=1
b¦dzieci¡giemfunkcjiokre±lonychnaprzedzialeP.Załó»my,
»eka»dafunkcjaf
n
mawPfunkcj¦pierwotn¡.Wdowodzietwierdzenia9.2.4pokazali±my,
»eje±lici¡g
(
f
n
)
1
n
=1
jestzbie»nyjednostajnienaka»dymprzedzialedomkni¦tymzawartym
wP,togranicaci¡gu
(
f
n
)
1
n
=1
mafunkcj¦pierwotn¡.
Uwaga9.2.6.
Funkcjaf
:R
!
R
okre±lonawzoremf
(
x
)=2
x
sin
1
x
−
cos
1
x
dlax
6
=0
orazf
(0)=0
posiadafunkcj¦pierwotn¦F
:R
!
R
okre±lon¡wzoramiF
(
x
)=
x
2
sin
1
x
dlax
6
=0
orazF
(0)=0
.Funkcjafniejestjednakfunkcj¡ci¡gł¡wpunkcie
0
.
Uwaga9.2.7.
Istniej¡funkcjeposiadaj¡cefunkcjepierwotnewprzedziale,którychiloczyn
niemafunkcjipierwotnejwtymprzedziale.Poka»emy,»efunkcjaf
:R
!
R
okre±lona
wzorami
x
dla
x
6
=0 oraz
f
(0)=0
.
mafunkcj¦pierwotn¡w
R
leczf
2
niemaw
R
funkcjipierwotnej.NiechF
:R
!
R
,
g
:R
!
R
b¦d¡funkcjamiokre±lonymiwzorami
F
(
x
)=
x
2
sin
1
x
dla
x
6
=0 oraz
F
(0)=0
,
g
(
x
)=2
x
sin
1
x
dla
x
6
=0 oraz
g
(0)=0
.
Funkcjag,jakofunkcjaci¡gła,mafunkcj¦pierwotn¡G
:R
!
R
(twierdzenie9.2.4).
WtedyF
0
(
x
)=
g
(
x
)
−
f
(
x
)
dlax
2
R
,wi¦cF
1
=
G
−
Fjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif
w
R
.
Przypu±¢myteraz,»efunkcjaf
2
maw
R
funkcj¦pierwotn¡F
2
:R
!
R
.Poka»emy,
»eistniejeC
2
R
,»e
(9.1)
F
2
(2
x
)=
F
1
(
x
)+
x
+
C
dla
x
2
R
.
Istotnie,poniewa»
cos2
=2cos
2
−
1
dla
2
R
,wi¦c
(9.2) 2
f
2
(2
x
)=
f
(
x
)+1 dla
x
6
=0
.
FunkcjaF
1
(
x
)+
xjestw
R
funkcj¡pierwotn¡funkcjif
+1
orazztwierdzenia9.1.6
mamy,»efunkcjaF
2
(2
x
)
jestw
R
funkcj¡pierwotn¡funkcji
2
f
2
(2
x
)
.St¡d,z(9.2)i
własno±ci9.1.1,istniej¡C
1
,C
2
2
R
,»eF
2
(2
x
)=
F
1
(
x
)+
x
+
C
1
dlax
2
(
−1
,
0)
oraz
F
2
(2
x
)=
F
1
(
x
)+
x
+
C
2
dlax
2
(0
,
+
1
)
.Wobecci¡gło±cifunkcjiF
1
,F
2
,przechodz¡cdo
granicyprzyx
!
0
dostajemyF
2
(0)=
F
1
(0)+
C
1
orazF
2
(0)=
F
1
(0)+
C
2
.St¡dwynika,
»eC
1
=
C
2
.Reasumuj¡cpokazali±my(9.1).Z(9.1)iokre±leniafunkcjiF
1
,F
2
mamy
0=2
f
2
(0)=2
F
0
2
(0)=
F
0
1
(0)+1=
f
(0)+1=1
,
cojestniemo»liwe.Zotrzymanejsprzeczno±ciwynika,»eprzypuszczenieoistnieniuw
R
funkcjipierwotnejfunkcjif
2
byłofałszywe.
f
(
x
)=cos
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl