rownania rozniczkowe, budownictow, matematyka, Wykłady dzienne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1Równanieró»niczkowepierwszegorz¦du Wielezagadnie«geometrycznych,fizycznych,ekonomicznychiinnychprowadzidoza- le»no±ci,wktórychpojawiaj¡si¦pochodne. Przykład 1.Znale¹¢krzyw¡dlaktórejodcinekstycznejzawartymi¦dzyosiamiukładu współrz¦dnychdzielisi¦narównecz¦±ciwpunkciestyczno±ci. Je»elipunktstyczno±cimawspółrz¦dne( x,y ),toodpowiedniastycznamusiprzecina¢ o± Ox wpunkcie(2 x, 0),ao± Oy wpunkcie(0 , 2 y ).Zatem 2 y 2 x =tg( − )= − tg , gdzie jestk¡temnachyleniastycznejdoosi Ox ,awi¦ctg = y 0 .Wynikast¡d,»e szukanafunkcjaspełniarównanie y = − xy 0 , wktórymniewiadom¡jestfunkcja. Przykład 2.Pr¦dko±¢rozpadupierwiastkapromieniotwórczegojestujemnaipropor- cjonalnadoaktualnejmasysubstancji.Współczynnikproporcjonalno±ci k dladanej substancjijeststałyiniezale»yodczasu.Wyznaczy¢zale»no±¢masyodczasu. Je»eli m ( t )oznaczamas¦wchwili t ,toopisaneempirycznewłasno±ciprowadz¡do zale»no±ci: m 0 ( t )= − km ( t ) . Abyodpowiedzie¢napytanienale»yztejrówno±ciwyznaczy¢funkcj¦ m ( t ). Równania,którepojawiłysi¦wprzykładachnazywamyrównaniamiró»niczkowymi. Dokładniej Definicja1 Równaniemró»niczkowymzwyczajnympierwszegorz¦dunazywamyrówna- niepostaci F ( x,y,y 0 )=0 , (1) czylipewienzwi¡zekmi¦dzyargumentemx,warto±ci¡funkcjiyijejpochodn¡y 0 . Jesttoposta¢uwikłanarównania.Je»elimo»nat¦posta¢rozwikła¢,tj.otrzyma¢ y 0 = f ( x,y ) (2) tomówimy,»erównaniejestwpostacinormalnej.Traktuj¡cpochodn¡jakoilorazró»- niczek: y 0 = dy dx mo»emynapisa¢ dy − f ( x,y ) dx =0 , lubogólniej: P ( x,y ) dx + Q ( x,y ) dy =0 . (3) Mówimywtedyotzw.formieró»niczkowejrównaniaró»niczkowego. Zprzykładówwida¢,wjakiegotypuzagadnieniachmo»naspodziewa¢si¦równa«ró»- niczkowych;mianowicietam,gdziepojawiasi¦styczna(b¡d¹k¡tnachylenia)lubpr¦d- ko±¢(szerokorozumiana). 1 Definicja2 Rozwi¡zaniem równaniaró»niczkowego(1)naprzedziale ( a,b ) nazywamy funkcj¦ró»niczkowaln¡y ( x ) tak¡,»e F ( x,y ( x ) ,y 0 ( x )) 0 , dlax 2 ( a,b ) .Wykresrozwi¡zaniarównaniaró»niczkowegonazywamyjego krzyw¡cał- kow¡ . Rozwi¡zanierównanianiejestnaogółokre±lonejednoznacznie.Np.dlarównaniaz przykładu1rozwi¡zaniamis¡funkcjepostaci y = C/x ,gdzie C jestdowoln¡stał¡; podobniedlarównaniazprzykładu2:funkcjepostaci m ( t )= Ce − kt .Niejesttodziwne, gdyu±wiadomimysobie,»eznalezieniefunkcji,gdydanajestjejpochodna,toproblem wyznaczeniafunkcjipierwotnej(lubcałki).Dlategote»rozwi¡zywanierównanianazywa siecz¦stocałkowaniem,asamorozwi¡zanie(zwłaszczagdyjestwpostaciuwikłanej)— całk¡. Definicja3 Rozwi¡zanierównaniaró»niczkowego(1)postaciy = f ( x,C ) (tzn.zawie- raj¡cestał¡dowoln¡)nazywamyrozwi¡zaniemogólnym(b¡d¹całk¡ogóln¡).Je±listałej Cnadamykonkretn¡warto±¢liczbow¡,tootrzymanerozwi¡zanienazywamyszczególnym (całk¡szczególn¡). Wybórstałejnaogółokre±lonyjestzało»eniamiproblemu. Definicja4 Równanieró»niczkowey 0 = f ( x,y ) orazwarunek y ( x 0 )= y 0 nazywamyzagadnieniempocz¡tkowymlubzagadnieniemCauchy’ego. Samwaruneknazywamywarunkiempocz¡tkowym. Sensgeometrycznyjesttaki,»ezezbioruwszystkichkrzywychcałkowychwybieramy t¦,któraprzechodziprzezzadanypunkt( x 0 ,y 0 )napłaszczy¹nie. Je»eliproblemprowadz¡cydorównaniaró»niczkowegoma¹ródłofizyczne,geometryczne czynp.biologiczne,tonaogółb¦dziewiadomo(zdroworozs¡dkowo),czyrozwi¡zanie istnieje,ici¦»arprzeniesiesi¦najegoznalezienie.Matematykjednakzobowi¡zanyjest doprzedstawieniawarunkówistnieniarozwi¡zania. Twierdzenie1(istnienieijednoznaczno±¢rozwi¡zania) Je»elifunkcjaf ( x,y ) oraz jejpochodnacz¡stkowa @f @y ( x,y ) s¡ci¡głenaobszarzeD R 2 oraz ( x 0 ,y 0 ) 2 D,toza- gadnieniepocz¡tkowe y 0 = f ( x,y ) ,y ( x 0 )= y 0 , madokładniejednorozwi¡zanie. Przykłady 1.Sprawdzi¢,czydanafunkcjajestrozwi¡zaniemdanegorównania. a) y =0, y =tg x , y = x 2 ; y 0 =1+ y 2 . b) y =0, y = 1 x 2 , y = 1 x 2 +1 ; y 0 = − 2 xy 2 . 2 x ; x + y + xy 0 =0. d) x 2 − xy + y 2 = c 2 ;( x − 2 y ) y 0 =2 x − y . 2 c) y = C 2 − x 2 2.Znanes¡całkiogólnepewnychrówna«ró»niczkowych.Znale¹¢całkiszczególnespeł- niaj¡cedanewarunkipocz¡tkowe. a) x 3 y +cos x = C , y ( 2 )=1. b) y =ln( C − x 2 ), y (0)=1. 3.Znale¹¢równanieró»niczkowerodzinykrzywych: a) y = C 2 − x 2 2Równanieró»niczkoweozmiennychrozdzielonych Definicja5 Równanieró»niczkowe,któremo»nazapisa¢wpostaci y 0 = g ( x ) h ( y ) nazywamyrównaniemozmiennychrozdzielonych. Formaró»niczkowategorównaniato dy h ( y ) = f ( x ) dx. Abytakierównanierozwi¡za¢całkujemyobustronniejegoform¦ró»niczkow¡.Stał¡ całkowaniadopisujemytylkopojednejstronierównania. Przykład Rozwi¡za¢równanie y 0 = xy . dy dx = xy, dy y = xdx, Z dy y = Z xdx, ln | y | = 1 2 x 2 + C, y = ± exp( 1 2 x 2 + C )= ± exp C exp( 1 2 x 2 ) . Przyjmuj¡c C 1 = ± exp C otrzymujemyodpowied¹: y = C 1 exp( 1 2 x 2 ) . Przykład Rozwi¡za¢równanie dx = e x y dy 1+ e x . Przykład Znale¹¢rozwi¡zanieszczególnerównania y 0 sin x − y ln y =0zwarunkiem pocz¡tkowym y ( 2 )=1. (odp.:ROR:ln y = C tg x 2 ,RSR: y =1) Równie»równaniawyprowadzonenapocz¡tku: y = − xy 0 , m 0 ( t )= − km ( t ) , s¡równaniamiozmiennychrozdzielonych. 3 2 x . b) y = C ( x 2 − y 2 ). 2.1Równanielogistyczne dN dt = f ( N ) , gdzie f ( N )jestpewn¡funkcj¡.Jesttorównanieozmiennychrozdzielonych. Gdybyzasobybyłynieograniczone,tonale»ałobyprzyj¡¢ f ( N )= kN ( k> 0—współ- czynnikproporcjonalno±ci).Zatem dN dt = kN, irozwi¡zanietegorównaniajestpostaci N ( t )= N 0 e k ( t − t 0 ) , gdzie N 0 jeststanempopulacjiwmomencie t =0.Wzrostpopulacjijestwtedywykład- niczy. Aleje±lizało»ymy,»etemporozwojujestproporcjonalnenietylkodoaktualnejliczeb- no±ci,alerównie»dowielko±cidost¦pnychjeszczezasobów,tonale»yprzyj¡¢ f ( N )= kN ( a − N ) , gdzie a oznaczamaksymaln¡liczebno±¢mo»liw¡doosi¡gni¦ciawdanym±rodowisku. Równanie dN dt = kN ( a − N ) ,a,k> 0 , nazywamy równaniemlogistycznym .Jegorozwi¡zaniejestpostaci 1+( a N 0 − 1) e − akt , gdzie N 0 = N (0) . Wykrestejfunkcjinazywamy krzyw¡logistyczn¡ .Jakwida¢,lim t !1 N ( t )= a . Przykład Przypu±my,»estudentzara»onygryp¡wracadokampusu,wktórymmieszka 1000studentów.Załó»my,»epr¦dko±¢rozprzestrzenianiasi¦wirusajestproporcjonalna doliczby N ju»zara»onych,aletak»edoliczby1000 − N zdrowych(mo»liwychdo zara»enia).Zaobserwowano,»epo4dniachchorowało50studentów.Ilub¦dziechorych po6dniach? Mamyturównanielogistyczne dN dt = kN (1000 − N ) ,k> 0 ,N (0)=1 . Zatem N ( t )= 1000 1+999 e − 1000 kt . 4 Niechdanab¦dziepewnapopulacja(np.myszy,wróbli,bakterii,...).Imwi¦kszajestjej obecnaliczebno±¢,tymwi¦cejrodzisi¦nowychosobników;alezdrugiejstronyrozwój populacjinapotykanabarier¦wpostaciograniczonychzasobów±rodowiska. Załó»myogólniej,»e N ( t )jestliczebno±ci¡populacjiwchwili t ,i»etempo(pr¦dko±¢) jejrozwojujestfunkcj¡ N ,tj. N ( t )= a Poniewa» N (4)=50,wi¦c k mo»nawyznaczy¢zrówno±ci 50= 1000 1+999 e − 4000 k , sk¡d k = − 1 4000 ln19999= − 0 , 0009906 , N ( t )= 1000 1+999 e − 0 , 9906 t , iotrzymujemyodpowied¹ N (6)= 1000 1+999 e − 5 , 9436 =276 . Po6dniachb¦dziechorowa¢276studentów. Wykonuj¡cdalszerachunkiotrzymamy t (dni) N (liczbachorych) 4 50 5 124 6 276 7 507 8 735 9 882 10 953 2.2Równaniasprowadzalnedorównaniaozmiennychrozdzie- lonych Równaniepostaci y 0 = f ( ax + by + c ) sprowadzamydozmiennychrozdzielonychprzypomocypodstawienia u = ax + by + c ; wtedy u 0 = a + by 0 ,czyli y 0 = 1 b ( u 0 − a ). Przykłady 1. y 0 =( x + y ) 2 +2( x + y ); 2. y 0 = 1 − x − y y 0 = f ( y x ) nazywamy jednorodnym isprowadzamydozmiennychrozdzielonychprzypomocypod- stawienia u = y x ;wtedy y = ux ,czyli y 0 = u 0 x + u . Przykłady 1. y 0 = y x (1+ln y x ); 2. y 0 = xy + y 2 x 2 ; 3. y 0 = y ( x − y ) x ( x + y ) . 5 x + y . Równaniepostaci [ Pobierz całość w formacie PDF ] |