roznica

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
R´o˙zniczkafunkcji
Twierdzenie1(oprzedstawieniuprzyrostufunkcji)
Je˙zelidzie-
dzinafunkcjifzawierapewneotoczenieU
(
x
0
)
punktux
0
orazistnieje
pochodnaf
0
(
x
0
)
,todlaka˙zdegoprzyrostu
¢
xtakiego,˙zex
0
+¢
x2
U
(
x
0
)
,przyrostfunkcji
¢
f
=
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
mo˙znaprzedstawi´cnast¸epuj¸aco
¢
f
=
f
0
(
x
0
)¢
x
+
®
¢
x
przyczym®!
0
,gdy
¢
xd¸a˙zydozerawdowolnyspos´ob.
Wniosek1
Je˙zelifunkcjafmapochodn¸awpunkciex
0
,tojestwtym
punkcieci¸agÃla.
Definicja1(funkcjir´o˙zniczkowalnej)
Funkcj¸efnazywamyr´o˙z-
niczkowaln¸awpunkciex
0
,je˙zelijejprzyrost
¢
f
=
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
mo˙znadlaka˙zdego
¢
xdostateczniebliskiegozeruprzedstawi´cwpostaci
¢
f
=
A¢
¢
x
+
o
(¢
x
)
gdzieAjeststaÃl¸a,ao
(¢
x
)
jestniesko´nczeniemaÃl¸arz¸eduwy˙zszegoni˙z
¢
x,gdy
¢
x!
0
.
Wniosek2
Funkcjafmapochodn¸awpunkciex
0
wtedyitylkowtedy,
gdyjestwtympunkcier´o˙zniczkowalna,przyczymw´owczas
¢
f
=
f
0
(
x
0
)
¢
¢
x
+
o
(¢
x
)
dlaka˙zdego
¢
xdostateczniebliskiegozeru.
folia1,wyklad8.tex,29.10.2002
Definicja2(r´o˙zniczkifunkcji)
R´o˙zniczk¸afunkcjifwpunkciex
0
dlaprzyrostu
¢
xzmiennejniezale˙znejxnazywamyiloczyn
f
0
(
x
0
)
¢
¢
x
R´o˙zniczk¸eoznaczamysymbolemdf
(
x
0
)
,b¸ad´zte˙zkr´otkodflubdy.
Przyrost
¢
xnazywamyr´o˙zniczk¸azmiennejniezale˙znejxioznaczamy
symbolem
¢
x.
Mamyzatem
df
(
x
0
)
def
=
f
0
(
x
0
)
¢dxlubkr´otkody
def
=
f
0
(
x
0
)
¢dx
Definicja3
Obliczaniepochodnychnazywamyr´o˙zniczkowaniem.
Uwaga1(zast.r´o˙zniczkidoobl.przybli˙zonychwarto´scifunkcji)
Niechfunkcjafmapochodn¸awÃla´sciw¸awpunkciex
0
.W´owczas
f
(
x
0
+¢
x
)
¼f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)¢
x
d
n
f
(
x
0
)
def
=
f
(
n
)
(
x
0
)
¢dx
n
przyczymdx
n
´
(
dx
)
n
.Zamiastd
n
f
(
x
0
)
piszemykr´otkod
n
f.
Je˙zeliy
=
f
(
x
)
,tozamiastd
n
f
(
x
)
piszemytak˙zed
n
y.St¸ad
dx
n
´
d
n
y
dx
n
folia2,wyklad8.tex,29.10.2002
Definicja4(r´o˙zniczkirz¸edu
n
funkcji)
R´o˙zniczk¸arz¸edunfunkcji
fwpunkciex
0
dlaprzyrostu
¢
xzmiennejniezale˙znejxnazywamy
wyra˙zenie
f
(
n
)
(
x
)
´
d
n
f
Rozwini¸ecieTayloraiMaclaurinafunkcji
Definicja5(wielomianTayloraiMaclaurina)
Niechfunkcjaf-
mawpunkciex
0
pochodn¸awÃla´sciw¸ak-tegorz¸edu,gdziek2
N
[f
0
g.
Wielomian
k
!
(
x¡x
0
)
k
nazywamywielomianemTaylorarz¸edukfunkcjifwpunkciex
0
.Je˙zeli
x
0
=0
,towielomiantennazywamywielomianemMaclaurina.
2!
(
x¡x
0
)
2
+
:::
+
f
(
k
)
(
x
0
)
Uwaga2
WielomianP
k
jestjedynymwielomianemstopniak,kt´ory
speÃlniawarunki
P
k
(
x
0
)=
f
(
x
0
)
;P
0
k
(
x
0
)=
f
0
(
x
0
)
;P
00
k
(
x
0
)=
f
00
(
x
0
)
;:::;P
(
k
)
k
(
x
0
)=
f
(
k
)
(
x
0
)
Twierdzenie2(wz´orTaylorazreszt¸aLagrange’a)
Je˙zelifunkcja
fspeÃlniawarunki:
1.maci¸agÃl¸apochodn¸arz¸edun¡
1
naprzedziale
[
x
0
;x
]
,
2.istniejewÃla´sciwapochodnaf
(
n
)
naprzedziale
(
x
0
;x
)
,
toistniejepunktc2
(
x
0
;x
)
taki,˙ze
f
(
x
)=
P
n¡
1
(
x
)+
f
(
n
)
(
c
)
n
!
(
x¡x
0
)
n
folia3,wyklad8.tex,29.10.2002
P
k
(
x
)
def
=
f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)
1!
(
x¡x
0
)+
f
00
(
x
0
)
Uwaga3
Twierdzeniepowy˙zszejestprawdziwer´ownie˙zdlaprzedziaÃlu
[
x;x
0
]
,wtedyc2
(
x;x
0
)
.
Uwaga4
R´owno´s´cwyst¸epuj¸ac¸awtezietwierdzenianazywamywzorem
Taylora.Wyra˙zenie
R
n
(
x
)
def
=
f
(
n
)
(
c
)
n
!
(
x¡x
0
)
n
nazywamyn-t¸areszt¸aLagrange’a.
Reszt¸et¸emo˙znatak˙zezapisa´cwpostaci
R
n
(
x
)=
f
(
n
)
(
x
0
+£¢
x
)
n
!
(¢
x
)
n
gdzie
0
<
£
<
1
oraz
¢
x
=
x¡x
0
.
Dlax
0
=0
wz´orTayloraprzyjmujeposta´c
f
(
x
)=
f
(0)+
f
0
(0)
2!
x
2
+
:::
+
f
(
n¡
1)
(0)
(
n¡
1)!
x
n¡
1
+
f
(
n
)
(
c
)
n
!
x
n
gdziec2
(0
;x
)
dlax>
0
lubc2
(
x;
0)
dlax<
0
.R´owno´s´ct¸e
nazywamywzoremMaclaurina.
folia4,wyklad8.tex,29.10.2002
1!
x
+
f
00
(0)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl