rozniczkowalny(1)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ró»niczkowalnazale»no±¢
1
Ró»niczkowalnazale»no±¢rozwi¡zaniaod
warunkówpocz¡tkowychiparametrów
Rozwa»my zagadnienie pocz¡tkowe
8
<
x
0
=
f
(
t,
x
,
p
)
x
(
) =
.
(1)
:
Funkcja
f
jest okre±lona na zbiorze (
a,b
)
×
R
×
S
, gdzie
R
jest wn¦trzem
prostopadło±cianu w
R
n
, za±
S
jest otwartym podzbiorem
R
m
, i przyjmuje
n
.
Oznaczmy
f
= col (
f
1
,...,f
n
),
x
= col (
x
1
,...,x
n
),
= col (
1
,...,
n
),
p
= col (
p
1
,...,p
m
).
O funkcji
f
zakładamy, »e jest ci¡gła wraz z pochodnymi cz¡stkowymi
@f
i
/@x
j
i
@f
i
/@p
k
na (
a,b
)
×
R
×
S
.
Oznaczmy przez
t
7!
'
(
t
;
,
,
p
) rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego (1).
Interesowa¢ nas b¦dzie w bie»¡cym rozdziale ró»niczkowalna zale»no±¢
odwzorowania
'
= col (
'
1
,...,'
n
) od argumentów. Rzecz jasna, pochodna
'
po
t
jest równa warto±ci
f
w odpowiednim punkcie.
warto±ci z
R
Oznaczmy przez pochodn¡
'
po zespole zmiennych
. Jest to funkcja o
warto±ciach b¦d¡cych macierzami
n
×
n
,
ij
=
@'
i
/@
j
.
Szukamy macierzowego równania ró»niczkowego, które powinno by¢
spełniane przez . Zauwa»my, »e zachodz¡ nast¦puj¡ce to»samo±ci
<
'
0
(
t
;
,
,
p
) =
f
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
'
(
;
,
,
p
) =
,
(2)
:
gdzie
0
oznacza pochodn¡ po
t
. Zró»niczkujmy pierwsz¡ z to»samo±ci (2) po
, zmie«my po lewej stronie kolejno±¢ ró»niczkowania i zastosujmy po
prawej stronie twierdzenie o pochodnej funkcji zło»onej. Otrzymamy wtedy
0
(
t
;
,
,
p
) =
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)(
t
;
,
,
p
)
,
gdzie
J
ij
=
@f
i
@x
j
.
Dalej, ró»niczkuj¡c drug¡ z to»samo±ci (2) po
otrzymujemy
(
t
0
;
,
,
p
) =
I,
 2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
gdzie
I
oznacza macierz jednostkow¡.
Funkcja
t
7!
(
·
;
,
,
p
) powinna wi¦c by¢ rozwi¡zaniem liniowego
jednorodnego macierzowego równania ró»niczkowego
X
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
X
(zwanego
równaniem w wariacjach
), spełniaj¡cym warunek pocz¡tkowy
X
(
) =
I.
Oznaczmy przez pochodn¡
'
po zespole zmiennych
p
. Jest to funkcja o
warto±ciach b¦d¡cych macierzami
n
×
m
,
ik
=
@'
i
/@p
k
.
Zró»niczkujmy pierwsz¡ z to»samo±ci (2) po
p
, zmie«my po lewej stronie
kolejno±¢ ró»niczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o
pochodnej funkcji zło»onej. Otrzymamy wtedy
0
(
t
;
,
,
p
) =
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)(
t
;
,
,
p
) +
G
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
,
gdzie
G
ik
=
@f
i
@p
k
.
Dalej, ró»niczkuj¡c drug¡ z to»samo±ci (2) po
p
otrzymujemy
(
;
,
,
p
) = 0
.
Funkcja
t
7!
(
·
;
,
,
p
) powinna zatem by¢ rozwi¡zaniem liniowego
niejednorodnego macierzowego równania ró»niczkowego
Y
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
Y
+
G
(
t,
'
(
t
;
,
,
)
,
p
)
z zerowym warunkiem pocz¡tkowym.
Wreszcie, oznaczmy przez
pochodn¡
'
po zmiennej
. Jest to
n
-wymiarowy wektor kolumnowy.
Zró»niczkujmy pierwsz¡ z to»samo±ci (2) po
, zmie«my po lewej stronie
kolejno±¢ ró»niczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o
pochodnej funkcji zło»onej. Otrzymamy wtedy
0
(
t
;
,
,
p
) =
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
(
t
;
,
,
p
)
.
Dalej, ró»niczkuj¡c drug¡ z to»samo±ci (2) po
otrzymujemy
f
(
,
,
p
) +
(
;
,
,
p
) = 0
.
 Ró»niczkowalnazale»no±¢
3
Funkcja
(
·
;
,
,
p
) powinna wi¦c by¢ rozwi¡zaniem liniowego jednorodnego
wektorowego równania ró»niczkowego
y
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
y
spełniaj¡cym warunek pocz¡tkowy
y
(
) =
−
f
(
,
,
p
)
.
W szczególno±ci, zauwa»my nast¦puj¡cy zwi¡zek mi¦dzy pochodn¡ po
i
pochodn¡ po
:
(
t
;
,
,
p
) =
−
(
t
;
,
,
p
)
f
(
,
,
p
)
.
Powy»sze rozwa»ania były czysto formalne: ró»niczkowali±my odwzorowanie
'
po ró»nych zmiennych, stosowali±my twierdzenie o pochodnej funkcji
zło»onej, zmieniali±my kolejno±¢ ró»niczkowania, nie troszcz¡c si¦, czy jest
to uprawnione. Okazuje si¦, »e mo»na wykonywa¢ takie operacje przy
„naturalnych” zało»eniach, co jest tre±ci¡ nast¦puj¡cego twierdzenia:
Twierdzenie1.
Załó»my, »e funkcja wektorowa
f
=
f
(
t,
x
,
p
) : (
a,b
)
×
R
×
S
!
R
n
, gdzie R
= (
c
1
,d
1
)
×···×
(
c
n
,d
n
)
,
−1¬
a < b
¬1
,
−1¬
c
i
< d
i
¬1
i S jest otwartym podzbiorem
R
m
,
jest ci¡gła wraz z pochodnymi cz¡stkowymi @
f
/@
x
=:
J i @
f
/@
p
=:
G.
Oznaczmy przez
'
(
·
;
,
,
p
)
nieprzedłu»alne rozwi¡zanie zagadnienia
pocz¡tkowego
8
<
x
0
=
f
(
t,
x
,
p
)
x
(
) =
.
(3)
:
Wówczas
(i)
Dziedzina odwzorowania
(
t,,
,
p
)
7!
'
(
t
;
,
,
p
)
jest otwartym
podzbiorem
(
a,b
)
×
(
a,b
)
×
R
×
S zawieraj¡cym zbiór
{
(
,
) :
2
(
a,b
)
}×
R
×
S.
(ii)
Odwzorowanie
'
jest ró»niczkowalne w sposób ci¡gły wzgl¦dem
wszystkich zmiennych t, ,
,
p
(
oznaczmy
:=
@
'
/@
,
:=
@
'
/@
p
i
:=
@
'
/@
)
.
(iii)
Pochodne mieszane drugiego rz¦du
@
2
'
@t@
,
@t@
p
i
@
2
'
@
2
'
@t@
s¡ ci¡głe.
4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
(iv)
Ustalmy
(
,
,
p
)
2
(
a,b
)
×
R
×
S, i oznaczmy przez
(
,
)
dziedzin¦
nieprzedłu»alnego rozwi¡zania
'
(
·
;
,
,
p
)
. Wówczas:
(a)
Odwzorowanie
(
,
)
3
t
7!
(
t,,
,
p
)
2
R
n
×
n
spełnia
macierzowe równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne
X
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
X
(
tzw.
równanie w wariacjach)
, z warunkiem pocz¡tkowym
X
(
) =
I.
n
×
m
spełnia
macierzowe równanie ró»niczkowe liniowe niejednorodne
(b)
Odwzorowanie
(
,
)
3
t
7!
(
t,,
,
p
)
2
R
Y
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
Y
+
G
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
z warunkiem pocz¡tkowym
Y
(
) = 0
.
(c)
Odwzorowanie
(
,
)
3
t
7!
(
t,,
,
p
)
2
R
n
spełnia wektorowe
równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne
y
0
=
J
(
t,
'
(
t
;
,
,
p
)
,
p
)
y
z warunkiem pocz¡tkowym
y
(
) =
−
f
(
,
,
p
)
.
Naszkicujemy teraz dowód szczególnej postaci powy»szego twierdzenia.
Po pierwsze, zakładamy, »e
n
= 1, po drugie, rozpatrujemy tylko zale»no±¢
od warto±ci pocz¡tkowej.
Rozpatrujemy zatem równanie ró»niczkowe
x
0
=
f
(
t,x
)
z warunkiem pocz¡tkowym
x
(
) =
.
Niech
'
: (
,
)
!
R
oznacza nieprzedłu»alne rozwi¡zanie powy»szego
zagadnienia pocz¡tkowego. Ustalmy
>
0 takie, »e [
−
,
+
]
(
,
).
Ustalmy dalej
c < d
takie, »e
Ró»niczkowalnazale»no±¢
5
prostok¡t
K
:= [
−
,
+
]
×
[
c, d
] jest zawarty w dziedzinie funkcji
f
, oraz
'
(
t
)
2
(
c, d
) dla ka»dego
t
2
[
−
,
+
].
Połó»my
: (
t,x
)
2
K
@f
@x
(
t,x
)
L
:=
,
i ustalmy
D >
0 takie, »e zbiór
{
(
t,x
) :
t
2
[
−
,
+
]
,
|
x
−
'
(
t
)
|¬
D
}
jest zawarty w zbiorze [
−
,
+
]
×
(
c, d
).
Odt¡d a» do ko«ca dowodu przyjmujemy, »e
h
2
R
spełnia
|
h
|¬
De
−
L
.
1. Niech
'
h
oznacza nieprzedłu»alne rozwi¡zanie równania ró»niczkowego
x
0
=
f
(
t,x
) z warunkiem pocz¡tkowym
x
(
) =
+
h
. Twierdzimy, »e
przedział [
−
,
+
] nale»y do dziedziny rozwi¡zania
'
h
(
·
).
Istotnie, załó»my nie wprost, »e tak nie jest. Oznacza to, »e dla
pewnego
h
istnieje takie
s
2
(
,
+
), »e
'
h
(
t
)
2
[
c,d
] dla wszystkich
t
2
(
s,
+
] z dziedziny rozwi¡zania
'
h
, lub istnieje takie
s
2
(
−
,
), »e
'
h
(
t
)
2
[
c,d
] dla wszystkich
t
2
[
−
,s
) z dziedziny
rozwi¡zania
'
h
(patrz Twierdzenie o przedłu»aniu rozwi¡za«).
Załó»my, dla ustalenia uwagi, »e spełniony jest pierwszy warunek.
Oznaczmy przez
t
1
kres dolny tych
t
2
(
,
+
], dla których
'
h
(
t
)
2
[
c,d
]. Zatem
'
h
(
t
)
2
[
c, d
] dla wszystkich
t
2
[
,
], oraz
'
h
(
t
1
) =
c
lub
'
h
(
t
1
) =
d
. Zauwa»my, »e
t
Z
'
(
t
) =
+
f
(
s,'
(
s
))
ds
oraz
Z
t
'
h
(
t
) =
+
h
+
f
(
s,'
h
(
s
))
ds,
dla
t
nale»¡cych do przekroju dziedzin
'
(
·
) i
'
h
(
·
). Oznaczaj¡c
u
(
t
) :=
|
'
h
(
t
)
−
'
(
t
)
|
, otrzymujemy
t
Z
u
(
t
)
¬|
h
|
+
L
u
(
s
)
ds
dla wszystkich
t
2
[
,t
1
]
.
Z nierówno±ci Gronwalla wynika, »e
|
'
h
(
t
1
)
−
'
(
t
1
)
|¬
De
−
L
e
L
(
t
1
−
)
< D
, co przeczy temu, »e
'
h
(
t
1
) =
c
lub
'
h
(
t
1
) =
d
.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl