Sałata - Mechanika ogólna w ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
5.1. Uwagi ogólne
Jak już powiedziano w punkcie 1.1,
kinematyka
zajmuje się ruchem ciał
materialnych bez uwzględniania przyczyn (sił) ten ruch wywołujących, czyli
kinematyka zajmuje się wyłącznie matematycznym opisem ruchu bez
uwzględniania praw fizycznych.
Ruchem mechanicznym
ciała nazywamy zmianę jego położenia w czasie
względem innego ciała uważanego za nieruchome. Wynika z tego, że rozpatrując
ruch jakiegoś ciała, należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała
będziemy go opisywać. Ciało, względem którego rozpatrujemy ruch, będziemy
uważać za nieruchome i nazwiemy je ciałem odniesienia. Dla analitycznego opisu
ruchu z ciałem tym możemy sztywno związać prostokątny układ współrzędnych,
który nazwiemy układem odniesienia. Wtedy położenie dowolnego punktu
w przestrzeni określimy za pomocą trzech współrzędnych prostokątnych.
Z powyższego wynika, że ruch jest pojęciem względnym i że jego charakter
będzie zależał od układu odniesienia, względem którego rozpatrujemy ruch ciała.
Najczęściej za nieruchomy układ odniesienia przyjmujemy milcząco układ
związany z Ziemią i względem niego badamy ruch innych ciał.
Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej względem Słońca takie założenie nie
wystarczy i za układ nieruchomy należy przyjąć układ związany ze Słońcem.
Jak już mówiliśmy, w kinematyce będziemy się zajmować badaniem zmian
położenia ciał z upływem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy,
że czas jest niezależny od wyboru układu odniesienia i że jest taki sam dla
wszystkich punktów przestrzeni i nie zależy od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas
nazywamy
czasem absolutnym
, który w przybliżeniu odzwierciedla rzeczywisty
czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, błąd związany z
takim przybliżeniem nie ma praktycznego znaczenia dla prędkości małych w
porównaniu z prędkością światła.
Ruch ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy w każdej chwili czasu
określić położenie i ruch dowolnego punktu tego ciała. W pierwszej kolejności
zajmiemy się kinematyką punktu, a następnie bryły.
5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do
określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem
nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora
r
o początku w punkcie O i
końcu w rozważanym punkcie M.
z
L
hodograf wektora
wodzącego
M
r
wektor
wodzący
O
y
x
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
= t .)
( )
nazywamy
wektorem wodzącym
. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:
rr
== + +
t xt yt zt .)
i j k
lub równoważnych trzech równań skalarnych
xxt yyt zzt
=
( ) ( ) ( )
,
=
,
=
. .)
Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym
równaniem ruchu
, a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi
równaniami ruchu.
rr
( ) ( ) ( ) ( )
Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor
r
będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać
torem punktu
lub
hodografem
wektora wodzącego
r
. Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący
r
tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t
1
położenie punktu M
1
wyznacza
wektor wodzący
r
1
=
r
(t
1
), a w chwili t
2
= t
1
+ ∆t punkt zajmuje położenie M
2
wyznaczone przez wektor wodzący
r
2
=
r
(t
2
), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po
upływie czasu ∆t = t
2
– t
1
wektor wodzący uzyskał przyrost ∆
r
=
r
2
–
r
1
. Iloraz
∆
r
/∆t jest wektorem współliniowym z wektorem ∆
r
, czyli jest skierowany wzdłuż
cięciwy M
1
M
2
. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy
otrzymamy pochodną wektora
r
względem czasu:
li
t0
∆
∆
r
==
v
,
∆
→
t
nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że
prędkością punktu
nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:
v
=
d
dt
r
.
(5.4)
z
L
M
1
=
d
dt
r
v
∆
r
M
2
r
1
∆
∆
r
t
r
2
O
y
x
Rys. 5.2. Prędkość punktu
r
d
dt
Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M
2
dąży do punktu M
1
, to cięciwa M
1
M
2
dąży
do stycznej do toru w punkcie M
1
. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do
toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego
r
.
Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna
v
==++
d
dt
r
dx
dt
i
dy
dt
j
dz
dt
k
. .)
Po zapisaniu prędkości
v
w układzie współrzędnych x, y, z
v
= + +
vv v
x
i
y
j
z
k
(5.6)
i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:
v
x
=
dx
dt
,
v
y
=
dy
dt
,
v
z
=
dz
dt
. (5.7)
Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu
odpowiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:
v vvv
= + +
2
2
2
. (5.8)
x
y
z
W czasie ruchu punktu M jego prędkość
v
w ogólnym przypadku ruchu zmienia
zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M,
odpowiadających chwilom t
1
i t
2
= t
1
+ ∆t, wektory prędkości oznaczymy
odpowiednio przez
v
1
i
v
2
i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się
w jednym punkcie O
1
(rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie ∆t = t
2
– t
1
uzyskała przyrost ∆
v
=
v
2
–
v
1
. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy
hodografem prędkości
.
a
=
d
dt
v
hodograf prędkości
∆
v
v
1
∆
∆
v
t
v
2
O
1
Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu
Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor ∆
v
/∆t
o kierunku przyrostu prędkości ∆
v
. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to
w granicy otrzymamy pochodną prędkości
v
względem czasu, nazywaną
przyśpieszeniem
a
punktu M:
li
t0
→
∆
∆
vv
a
t
==
d
dt
.
Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu
.
==
d
dt
d
dt
2
r
a
. .)
2
Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości
v
.
W prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie
a
możemy
zapisać w następujący sposób:
a
= + +
aa a
x
i
y
j
z
. .)
W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):
a
== + +
d
dt
v
dv
dt
x
i
dv
dt
y
j
dv
dt
z
k
. .)
Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane
zależnościami:
dv
dt
dx
dt
2
dv
dt
dy
dt
2
dv
dt
dz
dt
a
= =
x
,
a
= =
y
,
a
= =
z
. (5.12)
x
2
y
2
z
2
∆
k
2
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl