rrcz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
R¶ownaniar¶o_zniczkowecz»astkowe
BogdanPrzeradzki
4kwietnia2008
Literatura
1.A.W.Bicadze,,R¶ownania¯zykimatematycznej"
2.A.W.Bicadze,D.F.Kaliniczenko,,Zbi¶orzada¶nzr¶owna¶n¯zyki
matematycznej"
3.D.Bleecker,G.Csordas,,BasicPartialDi®erentialEquations"
4.L.C.Evans,,R¶ownaniar¶o_zniczkowecz
,
astkowe"
5.S.Farlow,,PartialDi®erentialEquationsforScietists&Engineers"
(jestprzekÃl.rosyjski)
6.H.Marcinkowska,,Wst
,
epdoteoriir¶owna¶nr¶o_zniczkowychcz
,
astkowych"
7.J.Ombach,,WykÃladyzr¶owna¶nr¶o_zniczkowych"
8.B.Przeradzki,,R¶ownaniar¶o_zniczkowecz
,
astkowe{wybranezagadnie-
nia"
1
¶
Zr¶odÃlaprzyrodniczer¶owna¶nr¶o_zniczkowych
cz
,
astkowych
1)R¶ownanieprzewodnictwacieplnego(albodyfuzji)
u
t
=
a
2
¢
u
+
f
(
t;x
)
;
gdzie
a>
0
;
¢
u
:=
P
n
i
=1
u
x
i
x
i
operatorLaplace'a,
f
:R
£
R
n
!
Rdana
funkcjaci
,
agÃla,asymbolami
u
t
;u
x
i
;u
x
i
x
i
oznaczamypochodnecz
,
astkowe
funkcji
u
zmiennych
t;x
1
;:::;x
n
:
Funkcjaujesttutemperatur
,
aciaÃlazmie-
niaj
,
ac
,
asi
,
ewczasie
t
iwprzestrzeni(
x
1
;x
2
;x
3
)(
n
=3),staÃla
a
zale_zyod
wsp¶oÃlczynnikaprzewodnictwacieplnego.Wwersjiopisuj
,
acejdyfuzj
,
epewnej
substancji
u
jestjejst
,
e_zeniemwchwili
t
wdanympunkcie
x2
R
3
:
Funkcja
f
opisujezewn
,
etrzne¶zr¶odÃlociepÃlalubwspomnianejsubstancji.
2)R¶ownaniefalowe
1
u
tt
=
c
2
¢
u
+
f
(
t;x
)
;
gdzie
c>
0jeststaÃl
,
a,pozostaÃleoznaczeniajakwy_zej,opisujerozchodze-
niesi
,
edrga¶nnp.struny(
n
=1),membrany(
n
=2)
;
lubo¶srodka3-
wymiarowego.Wpierwszychdw¶ochprzypadkach
u
oznaczawychylenieod
poÃlo_zeniar¶ownowagi,wtrzecim
u
jestg
,
esto¶sci
,
ao¶srodka.
f
oznaczasiÃl
,
e
zewn
,
etrzn
,
a{¶zr¶odÃlod¶zwi
,
eku.StaÃla
c
zale_zyodwÃlasno¶scio¶srodka(struny,
membrany)okazujesi
,
ep¶o¶zniejpr
,
edko¶sci
,
arozchodzeniasi
,
ezaburzenia.Wy-
prowadzenier¶owna¶nopierasi
,
enazasadachmechanikiNewtona(por.[5,8]).
3)R¶ownanieLaplace'aiPoissona
¢
u
=0¢
u
=
f
(
x
)
:
Opisuj
,
anat
,
e_zeniapolagrawitacyjnegolubelektrycznegowpr¶o_znize¶zr¶odÃlem
f:
S
,
ate_zr¶ownaniamiopisuj
,
acymistacjonarne(niezale_zneodczasu)rozwi
,
azania
poprzednichr¶owna¶n.Cz
,
estodonichd
,
a_z
,
aprzy
t!1
pozostaÃlerozwi
,
azania
r¶ownaniaciepÃlaczyfalowego.
Wymie¶nmyjeszcze:r¶ownanieSchrÄodingera{opisstanuukÃladukwanto-
wego,r¶ownanieci
,
agÃlo¶sci{opisujeprzemieszczaniesi
,
enp.masy,r¶ownania
Maxwella{poleelektromagnetyczne,r¶ownanianieliniowetakiejakMonge'a-
Ampere'a,Kortevega-deVriesa,Sine-Gordona,Burgersa,Naviera-Stokesa{
przepÃlywcieczylubgazu.Wymie¶nmyjeszczer¶ownanieBlacka-Scholesa
2
¾
2
s
2
u
ss
+
rsu
s
¡ru
=0
{sÃlu_zydowycenytzw.instrument¶owpochodnychwmatematyce¯nansowej,
u
jestfunkcj
,
azmiennych
t
i
s:
Rz
,
adr¶ownaniar¶o_zniczkowego=rz
,
adnajwy_zszejpochodnejcz
,
astkowej
niewiadomejfunkcji
u
wyst
,
epuj
,
acejwr¶ownaniu.
2R¶ownanielinioweiquasiliniowerz
,
edupierw-
szego
R¶ownanieliniowerz
,
edu1:
n
X
a
i
(
x
)
u
x
i
+
b
(
x
)
u
=
f
(
x
)
:
(1)
i
=1
a
i
;b;f
:R
n
¾U!
R{danefunkcjeci
,
agÃle.Je¶slipraw
,
astron
,
er¶ownania
oznaczymyprzez
Lu;
wtedy
L
jestodwzorowaniemliniowymprzestrzeni
funkcjiklasy
C
1
(
U
)wprzestrze¶nfunkcjici
,
agÃlych
C
(
U
)
:
R¶ownaniemcharakterystycznymdla(1)nazywamyr¶ownanier¶o_zniczkowe
zwyczajne
x
0
=
a
(
x
)
;
gdzie
a
:
U!
R
n
jestpolemwektorowymowsp¶oÃlrz
,
ednych
a
i
;i
=1
;:::;n;
ajegotrajektorienazywamycharakterystykamir¶ownania(1).Je¶sliznamy
caÃlk
,
epierwsz
,
a
F
r¶ownaniacharakterystycznego,w¶owczaszde¯nicji
n
X
a
i
(
x
)
F
x
i
(
x
)=0
:
i
=1
2
u
t
+
1
JakwiemyzwykÃladuzr¶owna¶nr¶o_zniczkowychzwyczajnych,istnieje(lokalnie
wotoczeniupunktu
x
0
takiego,_ze
a
(
x
0
)
6
=0)dokÃladnie
n¡
1niezale_znych
caÃlekpierwszych
F
1
;:::;F
n¡
1
rz[
F
i;x
j
(
x
)]
i·n¡
1
;j·n
=
n¡
1
:
Wyznaczaj
,
aonecharakterystyki.Dowolnymrozwi
,
azaniemr¶ownania
n
X
a
i
(
x
)
u
x
i
=0
i
=1
jestwtedyfunkcja
u
(
x
)=©(
F
1
(
x
)
;:::;F
n¡
1
(
x
))
;
gdzie©jestdowoln
,
afunkcj
,
aklasy
C
1
n¡
1zmiennych.
Przejd¶zmydodowolnegor¶ownania(1).Niech
t7!x
(
t
)b
,
edzierozwi
,
azaniem
r¶ownaniacharakterystycznegoiniech
u
b
,
edzierozwi
,
azaniem(1).R¶o_zniczkuj
,
ac
funkcj
,
ezÃlo_zon
,
a
'
(
t
):=
u
(
x
(
t
))dostajemy
'
0
(
t
)=
n
X
u
x
i
(
x
(
t
))
¢x
0
i
(
t
)=
¡b
(
x
(
t
))
'
(
t
)+
f
(
x
(
t
))
:
i
=1
Zatem
'
jestrozwi
,
azaniemr¶ownaniazwyczajnego
v
0
+
~
b
(
t
)
v
=
~
f
(
t
)
;
gdzie
~
b
=
b±x;
~
f
=
f±x
{jesttote_zr¶ownanieliniowe.Znaj
,
acwarto¶s¶c
rozwi
,
azaniawjednympunkciecharakterystyki
u
(
x
(
t
0
))=
v
0
mo_zemyuzy-
ska¶cwarto¶scirozwi
,
azaniar¶ownania(1)wzdÃlu_zcaÃlejcharakterystyki.
Odpowiednikiemwarunkupocz
,
atkowegodlar¶ownaniazwyczajnegojest
tutzw.zagadnieniepocz
,
atkowe(Cauchy'ego)polegaj
,
acenaposzukiwaniu
rozwi
,
azaniar¶ownania(1)t._z
Twierdzenie. Je_zelifunkcja
a
:
U!
R
n
jestlipschitzowskoci
,
agÃla,
ahiperpowierzchnia¡przecinadowoln
,
acharakterystyk
,
ewconajwy_zejjed-
nympunkciei
a
(
x
)
=2T
x
¡(
T
x
¡{przestrze¶nstycznado¡wpunkcie
x
),to
zagadnieniepocz
,
atkowe
n
X
a
i
(
x
)
u
x
i
+
b
(
x
)
u
=
f
(
x
)
; uj
¡=
Ã
i
=1
posiadadokÃladniejednorozwi
,
azanieokre¶slonewpewnymotoczeniu¡
:
3
uj
¡=
Ã;
gdzie¡jesthiperpowierzchni
,
aklasy
C
1
n¡
1-wymiarow
,
azawart
,
aw
U;
a
Ã
:¡
!
Rjestzadan
,
afunkcj
,
aci
,
agÃl
,
a.Powy_zszerozumowaniepokazuje,
_zecharakterystykir¶ownanianiemog
,
aby¶cstycznew_zadnympunkciedo
hiperpowierzchni¡
:
Je¶slisparametryzujemylokalnie¡przypomocyfunkcji
R
n¡
1
¾V3s7!¸
(
s
)
2
¡
;
i
t7!x
(
t;s
)jestrozwi
,
azaniemr¶ownaniacharakterystycznegozwarunkiem
pocz
,
atkowym
x
(0
;s
)=
¸
(
s
)
;
tofunkcjazÃlo_zona©(
t;s
)=
u
(
x
(
t;s
))speÃlniaj
,
aca
r¶ownanie
v
0
+
~
b
(
t
)
v
=
~
f
(
t
)wzgl
,
edem
t
gwarantuje©(0
;s
)=
u
(
¸
(
s
))=
Ã
(
¸
(
s
))
:
Wystarczywi
,
ecrozwi
,
aza¶cr¶ownanie
©
t
+
~
B
(
t;s
)©=
~
f
(
t;s
)
zwarunkiempocz
,
atkowym©(0
;s
)=
Ã
(
¸
(
s
))
:
Om¶owimyterazznacznieog¶olniejsz
,
aklas
,
er¶owna¶ntzw.r¶ownaniaquasi-
liniowe.Og¶olnateori
,
ar¶owna¶nnieliniowych-p.Evans.
R¶ownaniemquasiliniowymrz
,
eduInazywamyr¶ownanie
n
X
a
i
(
x;u
)
u
x
i
=
b
(
x;u
)
:
(2)
i
=1
Jestononieliniowe,oile
b
lub
a
i
zale_z
,
aod
u
,aletraktuj
,
aclew
,
astron
,
ejako
funkcj
,
e
u
0
=[
u
x
i
]
i·n
widzimy,_zejestonaliniowa.
Niech
u
:
U!
Rb
,
edziepewnymrozwi
,
azaniem.W¶owczaswektorem
prostopadÃlymdowykresufunkcji
u;
czyli
n
-wymiarowejhiperpowierzchni
Graph(
u
)=
f
(
x;u
(
x
)):
x2
R
n
g½
R
n
£
R=R
n
+1
wpunkcie
x
jest
[
u
x
1
(
x
)
;:::;u
x
n
(
x
)
;¡
1]
:
R¶ownanie(2)oznaczawi
,
ec,_zetenwektorjestprostopadÃlydowektora
[
a
1
(
x;u
(
x
))
;:::;a
n
(
x;u
(
x
))
;b
(
x;u
(
x
))]
:
(3)
Alest
,
adwektor(3)jeststycznydowykresufunkcji
u
.Tak
,
asytuacj
,
enapo-
tkali¶smyju_zwcze¶sniejdlar¶owna¶nliniowych.Mo_zemywi
,
ecwnioskowa¶c,_ze
wykresrozwi
,
azaniaskÃladasi
,
eztrajektoriir¶ownaniar¶o_zniczkowegozwyczaj-
nego:
½
x
0
i
=
a
i
(
x;u
)
; i
=1
;:::;n;
u
0
=
b
(
x;u
)
:
(4)
wprzestrzeni(
n
+1)-wymiarowej.R¶ownanietopeÃlnianalogiczn
,
arol
,
e,
jakr¶ownaniecharakterystycznedlar¶owna¶nliniowychztym,_zedowolna
caÃlkapierwsza
F
r¶ownania(4)dajeposta¶cuwikÃlan
,
afunkcji
u
speÃlniaj
,
acej
r¶ownaniequasiliniowe(2):
F
(
x;u
)=0.Znaj
,
ac
n
caÃlekpierwszych
F
1
;:::
,
F
n
speÃlniaj
,
acychwarunekniezale_zno¶sci
rz[
F
j;x
i
(
x;u
)
;F
j;u
(
x;u
)]
i·n;j·n
=
n
4
mo_zemypoda¶cposta¶cdowolnejcaÃlkipierwszej
©(
F
1
(
x;u
)
;:::;F
n
(
x;u
))=0
;
(5)
gdzie©jestdowoln
,
afunkcj
,
aklasy
C
1
.Wz¶or(5)opisujewi
,
ecrodzin
,
ewszyst-
kichrozwi
,
aza¶nr¶ownaniaquasiliniowego(2).
3Klasy¯kacjar¶owna¶nliniowychrz
,
edudru-
giego
Niech­
½
R
n
b
,
edziezbioremotwartym.Rozwa_zmyr¶ownanie
Lu
:=
n
X
a
ij
(
x
)
u
x
i
x
j
+
n
X
b
i
(
x
)
u
x
i
+
c
(
x
)
u
=
f
(
x
)
;
(6)
i;j
=1
i
=1
gdzie
a
ij
;b
i
;c;f
:­
!
Rs
,
adanymifunkcjamici
,
agÃlymi.R¶ownanietonazy-
wamyliniowym,poniewa_zdladowolnychfunkcjiklasy
C
2
{
u
1
;u
2
i
®;¯2
R
mamy
L
(
®u
1
+
¯u
2
)=
®Lu
1
+
¯Lu
2
:
Przezrozwi
,
azanier¶ownania(6)rozumiemyfunkcj
,
eklasy
C
2
speÃlniaj
,
ac
,
a
r¶ownaniedlawszystkich
x
zdziedziny
u
.
1
Zbi¶orrozwi
,
aza¶nr¶ownaniajed-
norodnego
Lu
=0tworzyzoczywistychpowod¶owprzestrze¶nliniow
,
a.Maj
,
ac
wszystkierozwi
,
azaniar¶ownaniajednorodnegoijednorozwi
,
azanie
u
0
speÃlniaj
,
ace
Lu
0
(
x
)=
f
(
x
)mo_zemyznale¶z¶cwszystkierozwi
,
azaniar¶ownania(6).S
,
aone
postaci
u
+
u
0
,gdzie
Lu
(
x
)=0.Mo_zemyzakÃlada¶c,_ze
a
ij
(
x
)=
a
ji
(
x
).
Sklasy¯kujemyr¶ownanialiniowerz
,
edudrugiego.Klasy¯kacjazale_zyod
wyborupunktu
x2
­ijedynieodcz
,
e¶scizawieraj
,
acejpochodnerz
,
edudru-
giego.Utw¶orzmyform
,
ekwadratow
,
awR
n
.
¤(
x
)
¢¸
=
n
X
a
ij
(
x
)
¸
i
¸
j
;¸
=(
¸
1
;:::;¸
n
)
2
R
n
:
(7)
i;j
=1
Formatajestwyznaczonaprzezzadaniemacierzywsp¶oÃlczynnik¶ow
A
:=
[
a
ij
]
i;j·n
;
kt¶orajestmacierz
,
asymetryczn
,
a
A
T
=
A:
Odpowiadaonawyborowi
bazystandardowejwR
n
:
Przypomnijmyzalgebry:
dladowolnejformykwadratowejistniejetakabazawR
n
;
_zemacierz
,
a
tejformywnowejbaziejestdiagonalnatzn.jedynienagÃl¶ownejprzek
,
atnej
znajduj
,
asi
,
ewyrazyr¶o_zneod0
:
Wj
,
ezykumacierzyoznaczato,_zeistnieje
nieosobliwamacierz
S
(opisuj
,
acaprzej¶scieodbazystandardowejdonowej)
taka,_ze
5
S
T
²A²S
=
b
A
1
Niejesttojedynamo_zliwo¶s¶c.Wewsp¶oÃlczesnychpodr
,
ecznikachrozwa_zasi
,
ecz
,
e¶sciej
rozwi
,
azaniasilne(speÃlniaj
,
acer¶ownanieprawiewsz
,
edzie)irozwi
,
azaniasÃlabe(dystrybu-
cyjne).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl