Rygulska W - Rownania diofantyczne, Download, - ▧ Normalne, ● Matematyka, Matematyka. Ciekawostki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równanie diofantyczne – równanie, na ogół o kilku niewiadomych (równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi), którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub naturalnych. Często nie można nawet odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy też jest ich nieskończenie wiele? Problemem jest też wyznaczenie wszystkich rozwiązań. Nazwa tego typu równań pochodzi od greckiego matematyka – Diofantosa. Diofantos (ok. 200/214 n.e. - ok. 284/298 n.e.) – grecki żyjący w w Był to pierwszy uczony, który zajmował się głównie algebrą. Wcześniej wszystkie problemy rozwiązywano przede wszystkim geometrycznie. Z jego głównego dzieła „ Arytmetyka , składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. W „ Arytmetyce Diofantos wprowadził oznaczenia potęg (do szóstej włącznie), ich odwrotności (czyli potęgi o wykładnikach -1,-2,...,-6), wyraźnie formułował (słownie) prawa działań na potęgach, które dla nas wyrażają się wzorem . Mnożył wyrażenia postaci i sformułował dla nich prawo rozdzielności - w szczególności "prawo znaków", które dziś wyrażamy wzorem . Uzupełnił też mnożenie o mnożenie przez 1 (u Euklidesa 1 nie było liczbą naturalną!) i sformułował zasadę, nazywaną w szkolnej matematyce "przenoszeniem na drugą stronę ze zmienionym znakiem". Diofantos rozwiązywał w swoim dziele do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznaczał specjalnymi literami. Posługiwał się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosował skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych. Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równości oraz znak odejmowania Niewiele wiadomo o życiu Diofantosa, nawet nie można ustalić dokładnych lat jego życia. Według legendy na jego nagrobku widniał napis: „Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia. Przechodniu, oblicz długość jego życia! Rozwiązując odpowiednie równanie, otrzymujemy, że Diofantos żył 84 lata. Z innych prac Diofantosa, poza 6 księgami „Arytmetyki , zachowały się także fragmenty traktatu tego uczonego o liczbach wielokrotnych i rozpraw o arytmetyce egipskiej. Prace Diofantosa stanowiły punkt wyjścia do badań w dziedzinie teorii liczb. Jednym z działów tej teorii są tzw. aproksymacje diofantyczne, traktujące głównie o rozwiązywaniu nierówności algebraicznych w liczbach całkowitych. Do nauki wszedł również termin równania diofantyczne na oznaczenie problemu znalezienia rozwiązań pewnego równania w liczbach całkowitych (bądź naturalnych). Dzieło Diofantosa nie znalazło niestety kontynuatora i dopiero w średniowieczu zagadnieniem tym zajęli się matematycy indyjscy i Arabowie. Jednak najważniejsze wyniki w teorii równań diofantycznych osiągnęli Fermat, Euler, Lagrange, Kummer i Gauss. Równania diofantyczne: pierwszego stopnia Twierdzenie1 Równanie liniowe posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy , gdzie np. równanie nie ma rozwiązania, bo , zaś równanie ma rozwiązanie, bo i jest nim przykładowo para . Rozwiązanie równania liniowego z Tw.1 można znaleźć stosując algorytm Euklidesa. Przykład. . Rozpisujemy algorytm Euklidesa: Dalej zapisujemy Mnożymy obustronnie przez 3 i dostajemy Tak więc rozwiązaniem naszego równania wyjściowego jest para liczb Okazuje się, że takich rozwiązań jest nieskończenie wiele i można ten fakt ująć w poniższym twierdzeniu: Twierdzenie2 Jeżeli równanie jest rozwiązywalne w liczbach całkowitych, to ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli jednym z nich jest para liczba całkowitych , to wszystkie rozwiązania są zawarte we wzorze gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Ogólnie: Równanie diofantyczne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy . Szczególnym przypadkiem równania liniowego jest tożsamość Bézouta : gdzie Liczby całkowite oraz nazywamy liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta . Ponadto jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania całkowite oraz powyższego równania. drugiego stopnia – równanie Pitagorasa i równanie Pella Równanie Pitagorasa jest to równanie postaci . Liczby nazywamy trójkami pitagorejskimi. Jeśli to nazywamy je trójkami pierwotnymi – są to tzw. rozwiązania właściwe. Diofantos wyprowadził wzory na wyznaczanie takich trójek. Twierdzenie3 Liczby spełniające równanie Pitagorasa są postaci: gdzie są liczbami względnie pierwszymi oraz jedna z nich jest parzysta. Pitagoras i jego uczniowie udowodnili, że trójek pitagorejskich jest nieskończenie wiele: Stwierdzenie Trójek pitagorejskich jest nieskończenie wiele - liczby spełniają równanie Pitagorasa. Ponadto, jeśli spełniają równanie Pitagorasa to trójka liczb też jest rozwiązaniem tego równania. Równanie Pella – równanie postaci gdzie Równanie to dla będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania oraz , zaś dla nie będącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań. W przypadku, gdy nie jest kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm pozwalający wyznaczyć rozwiązania tego równania. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od Ogólne wzory na rozwiązanie równania Pella są następujące: ą ó Jego autorem jest Fermat, ale zostało ono pomyłkowo przypisane Pellowi i tak już zostało. Równaniem Pella zajmowali się angielscy matematycy w XVII wieku. William Brouncker i John Wallis podali metodę rozwiązania tego równania opartą na metodzie ułamków łańcuchowych. Dopiero w XVIII w. Joseph-Louis Lagrange udowodnił, że ta metoda pozwala na wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania Pella. wyższych rzędów – równanie Pierre Fermat’a Fermat około roku 1637 postawił zagadnienie, czy równanie ma rozwiązania w liczbach naturalnych przy (dla otrzymujemy bowiem równanie liniowe, a dla równanie Pitagorasa). Zanotował je na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki „ Arytmetyka i opatrzył następującą uwagą: „Jest niemożliwe rozłożyć sześcian na dwa sześciany, czwartą potęgę na dwie czwarte potęgi i ogólnie potęgę wyższą niż druga na dwie takie potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód tego, jednak margines jest za mały, by go pomieścić. Twierdzenie4 – Wielkie Twierdzenie Fermata Dla liczb naturalnych równanie diofantyczne nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych różnych od zera. Rys.1. „ Arytmetyka Diofantosa, wydanie z roku 1670 uwzględniające Wielkie Twierdzenie Fermata Twierdzenie to przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem Fermata . Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka dopiero w roku co było jedną z największych sensacji naukowych Zajmował ok. 100 stron i wyrażony był w języku i eliptycznych. Inne równania diofantyczne: - uogólnione równanie Pitagorasa Twierdzenie5 Wszystkie rozwiązania naturalne równania , w których i są liczbami parzystymi, otrzymujemy ze wzorów: biorąc za dowolne pary liczb naturalnych, a za dowolne dzielniki sumy , mniejsze od swych dopełniających. - równanie - zajmowali się nim Lagrange, Legendre, Gauss i Dedekind. Ogólne rozwiązanie podał Dickson; - równanie diofantyczne nie ma rozwiązań różnych od zera (Fermat); - istnieją rozwiązania równań: , np. (133,134,59,158); , np. (1,12,9,10), (8,53,29,50); , np. (3,4,5,6), (1,6,8,9),(7,14,17,20); , np. (1,5,7,12,13); - - do dziś nie wiadomo, czy ma rozwiązanie w liczbach naturalnych, inne niż oraz Udowodniono jedynie, że jeśli są takie rozwiązania, to dla nich liczba musi mieć więcej niż 330 cyfr; - - od stuleci nie jest rozwiązane zagadnienie, czy to równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych większych od 1, różne od . Przypuszczenie, że takich rozwiązań nie ma, znane jest pod nazwą Twierdzenia Catalana ; - dla ma nieskończenie wiele rozwiązań. Mogą one być postaci: - ma rozwiązanie naturalne, dla każdego . [ Pobierz całość w formacie PDF ] |