rowroz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykładzrówna«ró»nicowych
1Wiadomo±ciwst¦pne
Umówmysi¦,»enaczastegowykładuzrezygnujemyzoznaczania
n
-tegowyrazu
ci¡gusymbolemtypu
x
n
,
y
n
itp.Zamiasttegopisa¢b¦dziemy
x
(
n
),
y
(
n
)itp.
Ponadtowprowadzimysymbolnaoznaczenieiloczynupewnejilo±ciwyrazów
ci¡guanalogicznydo”sigmy”oznaczaj¡cejsum¦.Mianowicie,
n
Y
a
(
i
)=
a
(1)
·
a
(2)
·····
a
(
n
).
i
=1
Dodatkowoumawiamysi¦,»epowy»szyiloczynpopustymzbiorzeindeksów,
czylinaprzykład
0
Y
a
(
i
),jestrówny1.
i
=1
Definicja1.1.
Operatoremprzesuni¦cianazywamyoperatorokre±lonynaci¡-
gachwzorem
Ex
(
n
)=
x
(
n
+1)
.
OperatorIdanywzorem
Ix
(
n
)=
x
(
n
)
nazywamyoperatoremidentyczno±ciowym.
Uwaga1.2.
Wdalszymci¡gudlaliczbyrzeczywistej
b¦dziemyu»ywa¢zapisu
E
−
zamiast
E
−
I
.
Zastanówmysi¦codajewielokrotnezastosowanieoperatoraprzesuni¦cia.
Mamy
E
2
x
(
n
)=
E
(
Ex
(
n
))=
Ex
(
n
+1)=
x
(
n
+2),
E
3
x
(
n
)=
E
E
2
x
(
n
)
=
Ex
(
n
+2)=
x
(
n
+3).
Wida¢,»eindukcyjniedajesi¦wykaza¢ogólnywzór
E
k
x
(
n
)=
x
(
n
+
k
),
k
2
N
.
Je»eliwi¦c
p
(
)=
a
0
k
+
a
1
k
−
1
+
···
+
a
k
1
jestdowolnymwielomianemstopnia
k
zmiennej
,tomo»emyokre±li¢operator
wielomianowy
p
(
E
)okre±lonyzapomoc¡wzoru
p
(
E
)=
a
0
E
k
+
a
1
E
k
−
1
+
···
+
a
k
I
,
którynaci¡gu
x
(
n
)przyjmujewarto±¢
p
(
E
)
x
(
n
)=
a
0
x
(
n
+
k
)+
a
1
x
(
n
+
k
−
1)+
···
+
a
k
x
(
n
).
Nast¦puj¡cymprzykłademzilustrujemyczyms¡równaniaró»nicowe.
Przykład1.3.
Załó»my,»ewchwili
t
=0populacjaliczy
P
(0)osób.Roczny
wska¹nikurodze«wynosi
b
=
1
100
,arocznaumieralno±¢
d
=
1
101
.Oznaczato,
»eje»eliwko«cu
n
-tegoroku»yje
P
(
n
)osób,townast¦pnymrokuurodzisi¦
P
(
n
)
101
osób.Zatemliczbaosób»yj¡cychnakoniec(
n
+1)-ego
rokuwyniesie
P
(
n
+1)=
P
(
n
)+
P
(
n
)
100
−
P
(
n
)
101
=
P
(
n
)
·
(1+
b
−
d
)=
P
(
n
)
·
1+
1
10100
.
Zachodzipytanie,czyztegozwi¡zkupotrafimywyznaczy¢wzórnawyrazogólny
ci¡gu(
P
(
n
)).Je»eliwprowadzimyoznaczenie
r
=
b
−
d
,tonaszzwi¡zekprzyjmie
posta¢
P
(
n
+1)=
P
(
n
)
·
(1+
r
), (1)
Jesttoprzykładrównaniaró»nicowego(tzw.
równaniawzrostu
)opisuj¡cego
przyrostpopulacji.Napocz¡tekodgadniemyrozwi¡zanie.Twierdzimy,»eroz-
wi¡zaniemjestka»dyci¡gpostaci
P
(
n
)=
A
(1+
r
)
n
,
n
=0
,
1
,
2
,...
,
gdzie
A
jestdowoln¡stał¡.Sprawdzamy,»etojestrozwi¡zanierównania(1):
L
=
A
(1+
r
)
n
+1
,
P
=
A
(1+
r
)
n
(1+
r
)=
A
(1+
r
)
n
+1
,
czyli
L
=
P
.Jesttotakzwanerozwi¡zanieogólnerównania(1).Rozwi¡zania
ogólnezawszezawieraj¡dowolnestałe.Podstawiaj¡cwichmiejscekonkretne
liczby,otrzymujemytzw.rozwi¡zaniaszczególne.Abydladanegoproblemuuzy-
ska¢wła±ciwerozwi¡zanieszczególne,potrzebnes¡takzwanewarunkipocz¡t-
kowe.Warunekpocz¡tkowyjestdodatkow¡porcj¡informacji,którapozwoli
wyznaczy¢nieokre±lonestałe.Naprzykładwnaszymmodeluwzrostumo»emy
dowiedzie¢si¦,»epopulacjawchwili0liczy100osób,czyli
P
(0)=100.Znaczy
to,»e
1+
1
10100
n
P
(
n
)=100
·
.
2
100
dzieciiumrze
P
(
n
)
100=
P
(0)=
A
(1+
r
)
0
=
A
,
awi¦cwła±ciwymdlanaszegoproblemurozwi¡zaniemszczególnymb¦dzie
Wida¢wi¦c,»erównanieró»nicoweb¦dziezwi¡zkiemmi¦dzykilkoma(nie-
konieczniedwoma,jakwpowy»szymprzykładzie)kolejnymiwyrazamici¡gu,
za±jegorozwi¡zanieb¦dziepolega¢nawyznaczeniuwzoruna
n
-tywyraztego
ci¡gu.Inaczej,rozwi¡zanierównaniaró»nicowegojestwyznaczeniemwzoruna
n
-tywyraz,gdyci¡gzadanyjestrekurencyjnie.
Wnaszymwykładziezajmowa¢si¦b¦dziemytylkoszczególnymrodzajem
równa«ró»nicowych,mianowicierównaniamiliniowymi.
2Ogólnateorialiniowychrówna«ró»nicowych
Definicja2.1.
Równaniemliniowymrz¦duknazywamyrównanieró»nicowe
postaci
y
(
n
+
k
)+
p
1
(
n
)
y
(
n
+
k
−
1)+
···
+
p
k
(
n
)
y
(
n
)=
g
(
n
)
,
(2)
gdziep
i
(
n
)
dlai
=1
,
2
,...,korazg
(
n
)
s¡ci¡gamiokre±lonymidlan
­
n
0
przypewnymustalonymn
0
(wnaszymwykładzienajcz¦±ciejn
0
=0
),przyczym
p
k
(
n
)
6
=0
dlan
­
n
0
.Wrównaniupowy»szymniewiadom¡jestci¡gy
(
n
)
,za±
pozostałeci¡gis¡dane.Rozwi¡zaniemrównania(2)nazywamyka»dyci¡gy
(
n
)
okre±lonydlan
­
n
0
,któryspełniatorównanie.Je»elig
(
n
)=0
dlawszystkich
n
­
n
0
,torównanie(2)nazywamyjednorodnym.Wprzeciwnymprzypadku
równanietonazywamyniejednorodnym.Je»elirównanie(2)jestniejednorodne,
torównaniejednorodnepostaci
y
(
n
+
k
)+
p
1
(
n
)
y
(
n
+
k
−
1)+
···
+
p
k
(
n
)
y
(
n
)=0 (3)
nazywamyrównaniemjednorodnymstowarzyszonymzrównaniem(2).
Zauwa»my,»erównanie(2)mo»nazapisa¢wpostaci
y
(
n
+
k
)=
−
p
1
(
n
)
y
(
n
+
k
−
1)
−···−
p
k
(
n
)
y
(
n
)+
g
(
n
), (4)
zktórejprzy
n
0
=0kład¡c
n
=0,otrzymujemy
y
(
k
)=
p
1
(0)
y
(
k
−
1)
−
p
2
(0)
y
(
k
−
2)
−···−
p
k
(0)
y
(0)+
g
(0),
czyli
k
-tywyrazszukanegoci¡gujestdobrzeokre±lonyprzezwyrazypoprzednie
y
(0)
,...,y
(
k
−
1).Je»eliznamyju»
y
(
k
),tokład¡cwewzorze(4)
n
=1mamy
y
(
k
+1)=
p
1
(1)
y
(
k
)
−
p
2
(1)
y
(
k
−
1)
−···−
p
k
(1)
y
(1)+
g
(1),
czylipotrafimyzkoleiobliczy¢
y
(
k
+1).Powtarzaj¡ctenprocesmo»emyobli-
czy¢wszystkie
y
(
n
)dla
n
­
k
.
Zilustrujmypowiedzianewy»ejzapomoc¡przykładu.
Przykład2.2.
Rozwa»myrównanieliniowetrzeciegorz¦dupostaci
y
(
n
+3)
−
n
3
n
+1
y
(
n
+2)+
ny
(
n
+1)
−
3
y
(
n
)=
n
,
n
­
1. (5)
n
+1
y
(
n
+2)
−
ny
(
n
+1)+3
y
(
n
)+
n
. (6)
Podstawiaj¡c
n
=1w(6),dostajemy
y
(4)=
1
2
y
(3)
−
y
(2)+3
y
(1)+1=
5
2
.
Dla
n
=2
y
(5)=
2
3
y
(4)
−
2
y
(3)+3
y
(2)+2=
−
4
3
.
Dla
n
=3
y
(6)=
3
4
y
(5)
−
3
y
(4)+3
y
(3)+3=
−
5
2
.
Dla
n
=4
5
y
(6)
−
4
y
(5)+3
y
(4)+4=
89
6
itd.
Je»elidorównaniaró»nicowegodoł¡czymydodatkowopierwszych
k
warto±ci
szukanegorozwi¡zania,tootrzymamytzw.
zagadnieniepocz¡tkowe
:
y
(
n
+
k
)+
p
1
(
n
)
y
(
n
+
k
−
1)+
···
+
p
k
(
n
)
y
(
n
)=
g
(
n
), (7)
y
(
n
0
)=
a
0
, y
(
n
0
+1)=
a
1
,..., y
(
n
0
+
k
−
1)=
a
k
−
1
, (8)
gdzie
a
i
s¡ustalonymiliczbamidla
i
=0
,
1
,...,k
−
1.Zpowy»szychrozwa»a«
otrzymujemynast¦puj¡ce
Twierdzenie2.3.
Zagadnieniepocz¡tkowe(7)i(8)posiadadokładniejedno
rozwi¡zaniey
(
n
)
.
Pozostajepytanieczypotrafimywyznaczy¢wzórna
n
-tywyrazci¡guspeł-
niaj¡cegorównanie(2)lubspełniaj¡cegozagadnieniepocz¡tkowe(7)i(8).
Zajmiemysi¦wpierwszejkolejno±cirównaniemliniowymjednorodnymrz¦du
k
postaci
x
(
n
+
k
)+
p
1
(
n
)
x
(
n
+
k
−
1)+
···
+
p
k
(
n
)
x
(
n
)=0, (9)
gdzie
p
k
(
n
)
6
=0dla
n
­
n
0
.
Zaczniemyodwprowadzeniawa»nychpoj¦¢
Definicja2.4.
Ci¡gif
1
(
n
)
,...,f
r
(
n
)
nazywamyliniowozale»nymidlan
­
n
0
,
gdyistniej¡stałea
1
,...,a
r
niewszystkierównezeru,takie,»e
a
1
f
1
(
n
)+
···
+
a
r
f
r
(
n
)=0
dlan
­
n
0
.
(10)
Je»eliniejestspełnionywarunekDefinicji2.4,toci¡gi
f
1
(
n
)
,...,f
r
(
n
)na-
zywamy
liniowoniezale»nymi
.Inaczej,ci¡gitenazywamyliniowoniezale»nymi,
gdyzrówno±ci
a
1
f
1
(
n
)+
···
+
a
r
f
r
(
n
)=0
dla
n
­
n
0
wynika,»e
a
1
=
a
2
=
···
=
a
r
=0.
Zilustrujmypowy»szepoj¦ciazapomoc¡przykładu:
4
Załó»my,»e
y
(1)=0,
y
(2)=
−
1i
y
(3)=1.Obliczymykolejnewyrazyci¡gu
y
(
n
).Zapiszmyrównanie(5)wrównowa»nejpostaci
y
(
n
+3)=
n
y
(7)=
4
Przykład2.5.
Poka»emy,»eci¡gi3
n
,
n
3
n
,
n
2
3
n
s¡liniowoniezale»nedla
n
­
1.
Przypu±¢my,»edlastałych
a
1
,
a
2
i
a
3
mamy
a
1
3
n
+
a
2
n
3
n
+
a
3
n
2
3
n
=0dla
n
­
1.
Dziel¡cprzez3
n
mamy
a
1
+
a
2
n
+
a
3
n
2
=0dlawszystkich
n
­
1.
Tojestmo»liwetylkowprzypadku,gdy
a
3
=0,botrójmiankwadratowymaco
najwy»ejdwapierwiastkirzeczywiste.St¡ddalejmamy
a
2
=0,bowielomian
stopnia1maconajwy»ejjedenpierwiastek,ast¡ddalej
a
1
=0.Zatemmamy
liniow¡niezale»no±¢.
Definicja2.6.
Zbiórkliniowoniezale»nychrozwi¡za«równania(9)nazywamy
fundamentalnymzbioremrozwi¡za«.
Zwró¢myuwag¦,»ewpowy»szejdefinicji
k
jestrz¦demrównania.
Podamyterazpraktyczniejsz¡metod¦sprawdzanialiniowejniezale»no±ci
rozwi¡za«.
Definicja2.7.
KasoratianemW
(
n
)
rozwi¡za«x
1
(
n
)
,...,x
r
(
n
)
nazywamy
wyznacznikdanyprzez
W
(
n
)=
x
1
(
n
)
x
2
(
n
)
... x
r
(
n
)
x
1
(
n
+1)
x
2
(
n
+1)
... x
r
(
n
+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
1
(
n
+
r
−
1)
x
2
(
n
+
r
−
1)
... x
r
(
n
+
r
−
1)
.
(11)
Przykład2.8.
Rozwa»myrównanieró»nicowe
x
(
n
+3)
−
7
x
(
n
+1)+6
x
(
n
)=0.
Poka»emy,»eci¡gi1,(
−
3)
n
i2
n
s¡rozwi¡zaniamitegorównaniaiobliczymy
dlanichkasoratian.Najpierwsprawdzamy,czytos¡rozwi¡zania,podstawiaj¡c
teci¡gidorównania.Dlaci¡gu
x
(
n
)=1mamy
L
=1
−
7+6=0=
P
.Dla
ci¡gu
x
(
n
)=(
−
3)
n
mamy
L
=(
−
3)
n
+3
−
7(
−
3)
n
+1
+6(
−
3)
n
=(
−
3)
n
[
−
27+21+6]=0=
P
.
Wreszciedlaci¡gu
x
(
n
)=2
n
mamy
L
=2
n
+3
−
7
·
2
n
+1
+6
·
2
n
=2
n
[8
−
14+6]=0=
P
.
Obliczamyterazkasoratian:
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl