rrz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RÓWNANIA RÓNICZKOWE
ZWYCZAJNE
Marta Zelma«ska
Toru« 2009
1
Rozdział 1
Wst¦p
Definicja 1.
Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym
rz¦du n nazywamy równanie:
F
(
t;x;x
0
;x
00
;:::;x
(
n
)
)=0 (1.1)
Rozwi¡zaniem równania
(1.1) nazywamy funkcj¦
'
(t) klasy
C
n
, która pod-
stawiona do równania w miejsce x zmienia to równanie w to»samo±¢. Wykres
funkcji
'
(t) w przestrzeni
R
m
+1
zmiennych (t,x) nazywamy
krzyw¡ całkow¡
równania (1.1).
Definicja 2.
We¹my równanie:
x
0
(
t
)=
f
(
t;x
(
t
))
(1.2)
Zagadnienie pocz¡tkowe(Cauchy’ego)
dla równania (1.2) z warunkiem po-
cz¡tkowym
x
(
t
0
)=
x
0
:
½
x
0
(
t
)=
f
(
t;x
(
t
))
x
(
t
0
)=
x
0
(1.3)
Definicja 3.
autonomiczne(zale»y tylko od x) nieautonomiczne(zale»y dodatkowo od czasu t)
x
0
=
f
(
x
)
x
0
=
f
(
t;x
)
x
0
=2
p
x
x
0
=
t
2
+
p
x
Tablica I: Rodzaje równa«
Definicja 4.
Rozwi¡zaniem zagadnienia
(1.3) nazywamy funkcj¦ klasy
C
1
na przedziale
[
t
0
;t
0
+
a
]spełniaj¡c¡ równanie (1.2) oraz warunek pocz¡tkowy
x
(
t
0
)=
x
0
.
2
 Rozdział 2
Istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za« równa« ró»niczkowych
Zało»enia wspólne:
²
f
(
t;x
):
R
m
+1
!R
m
²
Q
=
f
(
t;x
):
jt¡t
0
j·a;jx¡x
0
j·bg
²
M
:=
sup
(
t;x
)
2Q
jf
(
t;x
)
j
nazwa tw. zało»enia teza
PEANO
f
ci¡gła
na Q zagadnienie (1.2) ma rozwi¡zanie
®
=
min
(
a;
b
M
) na[
t
0
;t
0
+
®
]
PICARDA-
f
Lipschitzowska
ze stał¡ L zagadnienie (1.2) ma
jednoznaczne
LINDELÖFA
®<min
(
a;
b
M
;
1
L
) rozwi¡zanie na
jt¡t
0
j·®
Tablica I: Twierdzenia o istnieniu rozwi¡za«
UWAGA:
S¡ to twierdzenia dotycz¡ce rozwi¡za« lokalnych jednak zbiory rozwi¡za«
mo»na konstruowa¢ tak, aby je przedłu»a¢.
Przykład 1.
Niejednoznaczno±¢ rozwi¡za« przy braniu funkcji nie b¦d¡cej Lipschitz’a.
Metoda rozdzielania zmiennych:
dt
=2
p
x
0=
x
(1)=(1+(
c
2
))
2
dx
R
dx
p
x
=
R
2
dt
c
2
=
¡
1=
)c
=
¡
2
2
x
1
2
=2
t
+
C
x
(
t
)=(
t¡
1)
2
x
=(
t
+
C
2
)
2
- całka ogólna
x(t)=0
dorzucamy jeszcze rozw. osobliwe NIEJEDOZNACZNO
4
x(t)
2
0
-4
-2
0
2
4
t
-2
3
-4
 Rozdział 3
Równania liniowe
3.1 Równania liniowe pierwszego rz¦du
Definicja 5.
Równanie liniowe
:
x’+p(t)x=q(t)
(3.1)
gdzie p(t),q(t) — funkcje zmiennej
t2
(
a;b
)
Równanie liniowe jednorodne
:
x’+p(t)x=0
(3.2)
Twierdzenie 1.
Niech b¦dzie dany operator liniowy
L(x)=x’+p(t)x
. Wtedy:
a).
J¡dro operatora L jest przestrzeni¡ jednowymiarow¡, jej baz¡ jest funk-
cja
u
(
t
)=
exp
(
¡
R
t
0
p
(
s
)
ds
)
; x-rozw.(3.2)
()L
(
x
)=0(
x2Ker
).
b).
u
(
t
)=
R
t
0
q
(
¿
)
exp
(
¡
R
¿
p
(
s
)
ds
)
d¿
jest szczególnym rozwi¡zaniem równa-
nia niejednorodnego L(x)=q(t) (uzmiennianie stałych).
c).
Ka»de rozwi¡zanie równania L(x)=q(t) mo»na przedstawi¢ w postaci
sumy rozwi¡zania szczególnego
u
p
(
t
)
i pewnego rozwi¡zania z j¡dra
operatora L, tzn.
x
(
t
)=
u
p
(
t
)+
u
(
t
)
UWAGA: Istniej¡ ró»ne typy równa« sprowadzalnych do równa« liniowych
np. Bernoulliego , Riccatiego.
4
 3.2 Równania liniowe drugiego rz¦du
Definicja 6.
Zagadnienie pocz¡tkowe:
x”+p(t)x’+q(t)x=r(t)
(3.3)
Warunek pocz¡tkowy:
x
(
t
0
)=
x
0
,
x
0
(
t
0
)=
x
1
(3.4)
Definicja 7.
Niech
x
1
(
t
)
;x
2
(
t
)— funkcje ró»niczkowalne na (a,b).
Wro«skianem
układu
x
1
;x
2
nazywamy wyra»enie:
µ
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
x
0
1
(
t
)
x
0
2
(
t
)
¶
=
x
1
(
t
)
x
0
2
(
t
)
¡x
2
(
t
)
x
0
1
(
t
) (3.5)
W
(
x
1
;x
2
)(
t
)=
det
Gdy
W
(
x
1
;x
2
)(
t
)
6
=0to układ funkcji
x
1
;x
2
nazywamy liniowo niezale»nym.
Twierdzenie 2.
Niech b¦dzie dany operator liniowy 2 rz¦du :
L(x)=x”+p(t)x’+q(t)x
.
Wtedy:
a).
J¡dro operatora L jest dwuwymiarowe, jego baz¡ s¡ funkcje
x
1
;x
2
speł-
niaj¡ce warunek
W
(
x
1
;x
2
)(
t
)
6
=0
b).
Ka»de rozwi¡zanie równania L(x)=q(t) mo»na przedstawi¢ w postaci
sumy rozwi¡zania szczególnego
x
p
(
t
)i pewnego rozwi¡zania z j¡dra
operatora L, tzn.
x
(
t
)=
x
p
(
t
)+
C
1
x
1
(
t
)+
C
2
x
2
(
t
)
Definicja 8.
Równanie charakterystyczne
operatora liniowego
L
(
x
)=
ax
00
+
bx
0
+
cx
:
a¸
2
+
b¸
+
c
=0
(3.6)
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl