s96-97 tablice do wydrukowania, uczelnia, semestr 3, ststystyks
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁADY I WICZENIA Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIESTWA I STATYSTYKI MechatronikaWM,WEiIPL rokakad.2012/2013 MałgorzataMurat 2 Rozdział 1 Prawdopodobie«stwo 1.1. Zdarzenia Ka»d¡ dowoln¡ sytuacj¦ mo»na opisa¢ w kategoriach zachodzenia, lub nie pewnego zdarzenia, dlate- go te» zdarzenie jest wygodnym poj¦ciem do opisu rzeczywisto±ci. Je±li zaj±cia zdarzenia nie mo»na przewidzie¢ i je±li stwierdzenie, »e zachodzi ono lub nie, ma zawsze sens, to takie zdarzenie nazywa¢ b¦dziemy zdarzeniem losowym . Ka»dy z mo»liwych wyników zjawiska losowego b¦dziemy nazywa¢ zdarzeniem elementarnym i oznacza¢ przez ! . Zbiór zdarze« elementarnych oznaczamy przez . Zbiór ten jest u»ywany do badania okre±lonego zjawiska i musi by¢ tak dobrany, aby to zjawisko mo»na było modelowa¢. Nieodpowiedni wybór zbioru mo»e doprowadzi¢ do bł¦dnych wniosków lub mo»e skomplikowa¢ opis rozpatrywanego zjawiska. Je±li dobrze okre±limy zbiór zdarze« elemen- tarnych, to nast¦pnym krokiem w budowie modelu jest sformułowanie interesuj¡cych nas problemów w terminach zdarze« elementarnych buduj¡c podzbiory zbioru , które nazywamy zdarzeniami. Nie jest to jednak definicja, bo nie ka»dy podzbiór zbioru zdarze« elementarnych jest zdarzeniem w sensie probabilistycznym. (W dalszej cz¦±ci wykładu zostanie podana poprawna definicja zdarzenia.) Ale z formalnego punktu widzenia zdarzenia s¡ zbiorami, elementami których s¡ zdarzenia elementarne, wi¦c podlegaj¡ one prawom rachunku zbiorów. Jednak»e stosowana jest specyficzna terminologia podana poni»ej. • Zbiór nazywa si¦ zdarzeniem pewnym . • Zbiór pusty nazywa si¦ zdarzeniem niemo»liwym . • Zdarzenie A zachodzi dla ! 2 je±li ! 2 A . Wówczas zdarzenie ! nazywa si¦ zdarzeniem sprzyjaj¡cym zdarzeniu A . • Je»eli A B , to mówimy, »e zdarzenie A jest zdarzeniem sprzyjaj¡cym zaj±ciu zdarze- nia B . • Je»eli A = B , to mówimy, »e zdarzenia s¡ równe . • Je»eli A \ B = ; , to zdarzenia A i B nazywa si¦ rozł¡cznymi lub wykluczaj¡cymi si¦ . • Zdarzenie A = − A nazywa si¦ przeciwnym do zdarzenia A . • Działania na zdarzeniach nazywamy i definiujemy tak jak działania na zbiorach. Ponadto wszyst- kie znane prawa rachunku zbiorów s¡ prawdziwe i dla zdarze«. Sformalizujemy teraz poj¦cie zdarzenia. Definicja 1.1.1 Niepust¡ rodzin¦ G podzbiorów zbioru nazywamy ciałem je±li spełnione s¡ nast¦- puj¡ce warunki (i) 2G , (ii) A 2G ) A 2G , 3 4 ROZDZIAŁ1.PRAWDOPODOBIESTWO (iii) A,B 2G ) ( A [ B ) 2G . Z powy»szej definicji wynika, »e • ;2G , • A,B 2G ) ( A \ B ) 2G , • A,B 2G ) ( A − B ) 2G . Definicja 1.1.2 Niepust¡ rodzin¦ F podzbiorów zbioru nazywamy -ciałem je±li spełnione s¡ na- st¦puj¡ce warunki (i) 2F , (ii) A 2F ) A 2F , S n =1 A n V (iii) A n 2F ) 2F . n 2 N Z powy»szej definicji wynika, »e " \ # ^ A n 2F ) A n 2F . n 2 N n =1 Rozwa»my nast¦puj¡cy przykład Przykład 1.1.3 Załó»my, »e badamy czas pracy pewnego elementu elektronicznego do czasu jego pierwszej awarii. Przyjmijmy, »e zdarzenia elementarne s¡ okre±lone nast¦puj¡co ! t =[ czas pracy do pierwszej awarii był równy t ], t 0. Wówczas = { ! t : t 0 } . Załó»my, »e zbiór S t 0 = { ! t 2 : t > t 0 } =[ czas bezawaryjnej pracy jest wi¦kszy ni» t 0 ] jest zdarzeniem dla ka»dego t 0 0. Z praktycznego punktu widzenia zdarzeniami powinny by¢ te» zbiory U t 0 = { ! t 2 : t ¬ t 0 } =[ czas bezawaryjnej pracy jest mniejszy lub równy t 0 ], Z t 0 ,t 1 = { ! t 2 : t 0 < t ¬ t 1 } =[ czas bezawaryjnej pracy 2 ( t 0 ,t 1 > ], W t 0 ,t 1 = { ! t 2 : t ¬ t 0 _ t > t 1 } =[ urz¡dzenie popsuło si¦ do momentu t 0 lub po chwili t 1 ]. dla dowolnych 0 ¬ t 0 ¬ t 1 . Zauwa»my, »e U t 0 = S t 0 = − S t 0 , Z t 0 ,t 1 = S t 0 \ U t 1 , W t 0 ,t 1 = U t 0 [ S t 1 . Oznacza to, »e zbiory b¦d¡ce sum¡, iloczynem, dopełnieniem zdarze« te» powinny by¢ zdarzeniami. Powy»szy przykład uzmysłowił nam, »e rodzina zdarze« powinna by¢ -ciałem. Dlatego te» w dalszym ci¡gu b¦dziemy rozwa»a¢ tylko zdarzenia, które s¡ podzbiorami -ciała zdarze« elementarnych. Uwaga 1.1.4 Nie nale»y myli¢ zdarzenia elementarnego ! ze zbiorem { ! } , który nawet nie musi nale»e¢ do -ciała zdarze« elementarnych. 1.1.ZDARZENIA 5 Zadania Zadanie 1.1.1 Niech A oznacza zdarzenie „co najmniej jeden z 3 sprawdzonych wyrobów jest wy - br akowany”, B - „wszystkie 3 wyroby s¡ dobrej jako±ci”. Co oznaczaj¡ zdarzenia: A \ B , A [ B , A i B ? Zadanie 1.1.2 Niech A , B , C b¦d¡ trzema dowolnymi zdarzeniami. Napisa¢ wyra»enie analityczne reprezentuj¡ce zdarzenie, które polega na tym, »e a) zachodzi tylko zdarzenie A ; b) zachodz¡ tylko zdarzenia A i B ; c) zachodz¡ wszystkie trzy zdarzenia; d) zachodzi przynajmniej jedno z trzech zdarze«; e) zachodz¡ przynajmniej dwa zdarzenia; f ) zachodzi dokładnie jedno zdarzenie; g) zachodz¡ dokładnie dwa zdarzenia; h) nie zachodzi ani jedno zdarzenie; i) zachodz¡ nie wi¦cej ni» dwa zdarzenia. Zadanie 1.1.3 Niech dane b¦d¡ zdarzenia A =[spo±ród 6 sztuk towaru co najwy»ej trzy sztuki s¡ wadliwe], B =[spo±ród 6 sztuk towaru co najmniej trzy sztuki s¡ wadliwe]. Co ozn ac zaj¡ zd arzenia: a) A ; b) B ; c) A \ B ; d) A \ B . Zadanie 1.1.4 Dane s¡ zdarzenia: A polegaj¡ce na tym, »e wadliwo±¢ pewnej produkcji jest nie wi¦ksza ni» 2%, B polegaj¡ce na tym, »e wadliwo±¢ pewnej produkcji jest nie mniejsza ni» 1%, C polegaj¡ce na tym, »e wadliwo±¢ pewnej produkcji jest nie wi¦ksza ni» 1%. Niech w oznacza wadliwo±¢ produkcji. Okre±li¢ za pomoc¡ zdarze« A , B i C zdarzenia D = [1% < w ¬ 2%] , E = [ w = 1%] , F = [ w > 2%] . Zadanie 1.1.5 Rzucamy raz symetryczn¡ kostk¡ sze±cienn¡. Niech zdarzenie A polega na wyrzuceniu parzystej liczby oczek, zdarzenie B polega na wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek mniejszej od 3, zdarzenie C polega na wyrzuceniu jedynki, zdarzenie D polega na wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek, zdarzenie E polega na wyrzuceniu liczby oczek nie mniejszej od 4, zdarzenie F polega na wyrzuceniu liczby oczek wi¦kszej od 1. a) Wskaza¢ pary zdarze« wykluczaj¡cych si¦. b) Które z wymienionych zdarze« s¡ przeciwne? [ Pobierz całość w formacie PDF ] |