rzad macierzy, WSB IiE
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rz¡d macierzy De nicja 1 M ó wimy, »e macierz A = 0 B B @ a 11 a 12 ::: a 1 n a 21 a 22 ::: a 2 n ::: ::: ::: ::: a m 1 a m 2 :::a mn 1 C C A jest rzƒdu r , gdy istnieje cho¢ jeden r ó »ny od zera minor stopnia r , a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ r ó wne zero. Rz¡d macierzy bƒdziemy oznacza¢ rz ( A ). Wniosek 1 Rz¡d macierzy A nie jest wiƒkszy od mniejszej z liczb m i n czyli rz ( A ) · min fm;ng: Twierdzenie 1 Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy 1. przestawimy wiesze (kolumny), 2. pomno»ymy wiersz lub kolumnƒ przez liczbƒ r ó »n¡ od zera, 3. do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnƒ), 4. opu–cimy wiersz (kolumnƒ) o elementach proporcjonalnych do innego wier- sza (kolumny) Przyk“ad 1 Obliczy¢ rz¡d macierzy A = 0 B B @ 123 4 5 012 ¡ 13 135 3 8 258 7 13 1 C C A : Odejmujemy od wiersza 3-go wiersz 1-szy i otrzymujemy macierz 0 1 2 3 4 5 0 1 2 ¡ 1 3 1 ¡ 13 ¡ 25 ¡ 33 ¡ 48 ¡ 5 2 5 8 7 13 1 0 123 4 5 012 ¡ 13 012 ¡ 13 258 7 13 1 B B @ C C A = B B @ C C A : Teraz od wiersza 4-tego wiersza odejmujemy 1-szy wiersz pomno»ony przez 2 i mamy 0 B B @ 1 C C A = 0 B B @ 123 4 5 012 ¡ 13 012 ¡ 13 012 ¡ 13 1 C C A : 1 1 2 3 4 5 0 1 2 ¡ 1 3 0 1 2 ¡ 1 3 2 ¡ 2 ¢ 15 ¡ 2 ¢ 28 ¡ 2 ¢ 37 ¡ 2 ¢ 413 ¡ 2 ¢ 5 Zauwa»my, »e wiersze 2-gi, 3-ci i 4-ty s¡ identyczne, wiƒc µ 123 4 5 012 ¡ 13 ¶ rz ( A )= rz : Pomno»ymy teraz 1-sz¡ kolumnƒ przez( ¡ 2)i doda¢ do 2-giej, wiƒc µ 12+( ¡ 2) ¢ 13 4 5 01+( ¡ 2) ¢ 02 ¡ 13 ¶ µ 103 4 5 012 ¡ 13 ¶ rz ( A )= rz = rz : I tak dalej pomno»ymy 1-sz¡ kolumnƒ przez (-3) i otrzymujemy µ 103+( ¡ 3) ¢ 1 4 5 012+( ¡ 3) ¢ 0 ¡ 13 ¶ µ 100 4 5 012 ¡ 13 ¶ rz ( A )= rz = rz : Teraz pomno»ymy 1-sz¡ kolumnƒ przez( ¡ 4)i dodamy do czwartej µ 100 4+( ¡ 4) ¢ 1 5 012 ¡ 1+( ¡ 4) ¢ 03 ¶ µ 100 0 5 012 ¡ 13 ¶ rz ( A )= rz = rz : W ko«cu pomno»ymy 1-sz¡ kolumnƒ przez( ¡ 5)i dodamy do 5-tej: µ 100 0 5+( ¡ 5) ¢ 1 012 ¡ 13+( ¡ 5) ¢ 0 ¶ µ 100 0 0 012 ¡ 13 ¶ rz ( A )= rz = rz : Kolumny 3-cia, 4-ta i 5-ta s¡ proporcjonalne do 2-giej, wiƒc µ 10 01 ¶ rz ( A )= rz : Poniewa» ¯ ¯ ¯ ¯ 10 01 ¯ ¯ ¯ ¯ =1 ¡ 0=1 ; wiƒc rz ( A )=2. Przyk“ad 2 Obliczy¢ rz¡d macierzy A = 0 @ 2 ¡ 130 4 ¡ 260 5 0 12 1 A : Zauwa»my, »e 1-szy wiersz jest proporcjonalny do 2-go, wiƒc µ 2 ¡ 130 5 0 12 ¶ rzA = rz : Pomno»ymy 4-t¡ kolumnƒ przez0 ; 5, wtedy µ 2 ¡ 130 ¢ 0 ; 5 5 0 12 ¢ 0 ; 5 ¶ µ 2 ¡ 130 5 0 11 ¶ rzA = rz = rz : 2 Pomno»ymy 4-t¡ kolumnƒ przez( ¡ 5)i dodamy do 1-szej, sk¡d µ 2+( ¡ 5) ¢ 0 ¡ 130 5+( ¡ 5) ¢ 1 0 11 ¶ µ 2 ¡ 130 0 0 11 ¶ rzA = rz = rz : Teraz od 3-ciej kolumny odejmujemy 4-t¡, sk¡d µ 2 ¡ 13 ¡ 00 0 0 1 ¡ 11 ¶ µ 2 ¡ 130 0 0 01 ¶ rzA = rz = rz : Zauwa»my, »e kolumny 1-sza, 2-ga i 3-cia s¡ proporcjonalne, wiƒc µ 20 01 ¶ rzA = rz : Skoro ¯ ¯ ¯ ¯ 20 01 ¯ ¯ ¯ ¯ =2 ; to rzA =2. 3 [ Pobierz całość w formacie PDF ] |