rr1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Równaniaró»niczkowezwyczajne
DefinicjaRównaniemró»niczkowymrz¦dupierwszegonazywamy
równaniepostaci
F
(
x,y,y
0
)=0
,
gdzie
F
jestfunkcj¡ci¡gł¡napewnymobszarze
R
3
,za±
y
=
y
(
x
)
jestszukan¡(niewiadom¡)funkcj¡.
Je»elirównanie
F
(
x,y,y
0
)=0
mo»narozwi¡za¢zewzgl¦duna
y
0
,tootrzymujemytzw.posta¢normaln¡równaniaró»niczkowego
rz¦dupierwszego:
y
0
=
f
(
x,y
)
,
gdzie
f
jestfunkcj¡ci¡gł¡napewnymobszarze
D
R
2
.
2
Przykładyrówna«ró»niczkowychrz.1:
y
0
+2
y
2
sin
x
=0
y
0
=3
x
−
y
xy
0
+2
y
(ln
y
−
ln
x
)=0
DefinicjaRozwi¡zaniemrr
y
0
=
f
(
x,y
)
naprzedziale
I
nazywamyka»d¡funkcj¦
y
=
y
(
x
)
oci¡głejpochodnejw
I
i
wykresiezawartymwobszarze
D
,którarównanietoprzeprowadza
wto»samo±¢,tj.
8
x
2
I
y
0
(
x
)
f
(
x,y
(
x
))
.
Rozwi¡zanierrnazywamytak»ecałk¡rr.
3
Przykład
Najprostszymrrrz.1jestrównanie:
y
0
=
f
(
x
)
,
gdzie
f
jestdan¡funkcj¡ci¡gł¡wprzedziale
I
.
Rozwi¡zanietegorównaniamaposta¢:
y
(
x
)=
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C
•
Pojedy«czerozwi¡zanierrnazywamycałk¡szczególn¡(CS)rr.
•
Rodzin¦wszystkichrozwi¡za«postaci
y
=
y
(
x
;
C
)
nazywamy
całk¡ogóln¡(rozwi¡zaniemogólnym)rr.
NP.
y
0
=
1
x
 4
Definicja
(Zagadnieniapocz¡tkowego-Cauchy’ego)
Niechfunkcja
f
=
f
(
x,y
)
jestokre±lonawobszarze
D
.Dla
zadanegopunktu
(
x
0
,y
0
)
2D
wyznaczy¢takierozwi¡zanie(CS)
y
=
y
(
x
)
równania
y
0
=
f
(
x,y
)
,aby
y
(
x
0
)=
y
0
.Takpostawiony
problemrozwi¡zaniarrnazywamyzagadnieniempocz¡tkowym
(Cauch’ego),warunek
y
(
x
0
)=
y
0
nazywamywarunkiempocz¡tkowym.
Zagadnieniepocz¡tkowezapisujemy:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
y
0
=
f
(
x,y
)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
y
(
x
0
)=
y
0
5
Twierdzenie
(Oistnieniuijednoznaczno±cirozwi¡za«rr)
Je»elifunkcja
f
(
x,y
)
orazjejpochodnacz¡stkowa
f
y
(
x,y
)
s¡
ci¡głenaobszarze
D
oraz
(
x
0
,y
0
)
2D
,tozagadnieniepocz¡tkowe
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
y
0
=
f
(
x,y
)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
y
(
x
0
)=
y
0
madokładniejednorozwi¡zanie.
Przykład
Korzystaj¡czpodanegotwierdzeniauzasadni¢,»e
zagadnieniepocz¡tkowe
y
0
=ln(1+
y
2
)
,y
(0)=0
madokłdniejednorozwiazanie.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl