rpis6

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Laboratorium RPiS
Testowanie hipotez parametrycznych
1 Poj¦cia wst¦pne
Hipotez¡ statystyczn¡ nazywamy ka»de przypuszczenie dotycz¡ce nieznanych warto±ci parametrów rozkªadu
bad¹ nieznanego typu rozkªadu.
Ka»da hipoteza wymaga sprawdzenia, które nazywamy werykacj¡, a metody sªu»¡ce do sprawdzenia
hipotezy nosz¡ nazw¦ testów statystycznych.
Hipoteza statystyczna dotycz¡ca jedynie nieznanych parametrów rozkªadu nazywana jest hipotez¡ para-
metryczn¡, a test sªu»¡cy do zwerykowania hipotezy parametrycznej nosi nazw¦ testu parametrycznego.
Hipoteza statystyczna dotycz¡ca postaci funkcyjnej rozkªadu zmiennej losowej, bez orzekania o warto-
±ciach parametrów tego rozkªadu, nosi nazw¦ hipotezy nieparametrycznej, a test sªu»¡cy do werykacji hipo-
tezy nieparametrycznej nosi nazw¦ testu nieparametrycznego b¡d¹ testu zgodno±ci. Je»eli werykuje si¦ tylko
jedn¡ hipotez¦ (b¦dziemy j¡ nazywa¢ hipotez¡ zerow¡ i oznacza¢ H
0
), przy czym nie stawia si¦ jednocze±nie
innych hipotez, to taki test nazywa si¦ testem istotno±ci.
Je»eli hipoteza werykowana wyznacza caªkowicie nieznany rozkªad, to nazywamy j¡ hipotez¡ prost¡.
Hipotez¦, która nie wyznacza caªkowicie rozkªadu (np. nie precyzuje warto±ci wszystkich nieznanych para-
metrów) nazywamy hipotez¡ zªo»on¡.
Zauwa»my, »e badaj¡c caª¡ populacj¦, mo»emy z caª¡ pewno±ci¡ stwierdzi¢, czy hipoteza H
0
jest praw-
dziwa czy faªszywa. Maj¡c jednak tylko wyniki badania próby musimy si¦ liczy¢ z ryzykiem popeªnienia
bª¦du polegaj¡cego na odrzuceniu badanej hipotezy mimo, »e jest ona prawdziwa. Ustalone krytyczne praw-
dopodobie«stwo (mo»e by¢ ró»ne w ró»nych zagadnieniach) odrzucenia werykowanej hipotezy H
0
, gdy jest
ona prawdziwa, nazywamy poziomem istotno±ci i oznaczamy zwykle przez . Umownie przyjmuje si¦ zwy-
kle jeden z nast¦puj¡cych poziomów istotno±ci: 0:001, 0:01, 0:02, 0:05, chocia» mo»na te» przyjmowa¢ inne
warto±ci uzasadnione technicznie lub ekonomicznie.
2 Ogólne zasady werykacji hipotez parametrycznych
Oznaczmy hipotez¦ zerow¡ H
0
mówi¡c¡, »e warto±¢ nieznanego parametru q rozkªadu cech X, zbiorowo±ci
generalnej wynosi q
0
przez H
0
(q = q
0
. Przypu±¢my, »e oprócz sprawdzanej warto±ci q
0
nieznanego parametru
q mog¡ by¢ prawdziwe inne jego warto±ci q
1
, q
2
,. Wówczas hipotezy H
0
(q = q
0
), H
1
(q = q
1
), H
2
(q = q
2
,
cdots nazywamy hipotezami dopuszczalnymi. W odró»«ieniu od hipotezy zerowej H
0
(q = q
0
) ka»d¡ z pozo-
staªych hipotez dopuszczalnych nazywamy hipotez¡ alternatywn¡. Hipotez¦ zerow¡ H
0
(q = q
0
) sprawdzamy
na podstawie Nelementowej próby (x
1
; x
2
;; x
N
), b¦d¡cej realizacj¡ Nwymiarowej zmiennej losowej
(X
1
; X
2
;; X
N
). Tworzymy pewn¡ statystyk¦ zwan¡ statystyk¡ testow¡
Q = f(X
1
; X
2
;; X
N
);
(1)
stanowi¡c¡ estymator nieznanego parametru q, przy czym warto±¢ tego estymatora otrzymana z próby
(x
1
; x
2
;; x
N
) wynosi q. Statystyka ta przeksztaªca wielowymiarow¡ przestrze« próby w jednowymiarow¡
przestrze« statystyki . Przestrze« statystyki mo»na podzieli¢ na dwa dopeªniaj¡ce si¦ obszary
0
i
1
,
przy czym obszar
0
jest zbiorem warto±ci q bliskich warto±ci q
0
, natomiast
1
jest obszarem warto±ci
q odlegªych od warto±ci q
0
i nazywany jest obszarem krytycznym. Mo»na okre±li¢ obszar krytyczny
1
odpowiadaj¡cy poziomowi istotno±ci poprzez »¡danie, aby zachodziªa równo±¢
P ( Q2
1
jH
0
) = ;
(2)
tzn. »¡damy, aby pradopodobie«stwo znajdowania si¦ estymatora Q wewn¡trz obszaru
1
pod warunkiem,
»e hipoteza H
0
jest prawdziwa, byªo równe .
Przypu±¢my, »e zaobserwowana warto±¢ estymatora Q nale»y do zbioru krytycznego
1
wtedy hipo-
tez¦ zerow¡ H
0
odrzucamy i przyjmujemy alternatywn¡ hipotez¦ H
1
. W przypadku odrzucenia hipotezy
H
0
popeªniamy bª¡d, je»eli jest ona prawdziwa. Bª¡d ten nazywa si¦ bª¦dem pierwszego rodzaju, a jego
prawdopodobie«stwo wynosi i jest oczywi±cie równe
= P ( Q2
1
jH
0
):
(3)
1
Laboratorium RPiS
Testowanie hipotez parametrycznych
Istnieje równie» mo»liwo±¢ bª¦dnej decyzji w drugim kierunku, tzn. mo»emy przyj¡¢ hipotez¦ H
0
, gdy ta
nie jest prawdziwa, tj. gdy prawdziwa jest hipoteza H
1
. Taki bª¡d nazywamy bª¦dem drugiego rodzaju.
Prawdopodobie«stwo wyst¦powania tego bª¦du oznaczymy przez , przy czym
= P ( Q =2
1
jH
1
) = P ( Q2
0
jH
1
):
(4)
Bª¡d drugiego rodzaju zale»y oczywi±cie od konkretnej hipotezy alternatywnej H
1
.
Zauwa»my, »e w przypadku, je»eli q
0
i q
1
nie s¡ jedynymi dopuszczalnymi warto±ciami nieznanego pa-
ramteru, to istnieje problem znalezienia prawdopodobie«stwa odrzucenia hipotezy H
0
na korzy±¢ hipotezy
alternatynej H w zale»no±ci od parametru q, który mo»e mie¢ warto±¢ ró»n¡ od q
0
jak i od q
1
. Prawdopo-
dobie«stwo takie nazywamy moc¡ testu i b¦dzie oznaczane jako M(
1
; H)
M(
1
; H) = P ( Q2
1
jH):
(5)
Prawdopodobie«stwo to jest funkcj¡ obszaru krytycznego
1
i parametru hipotezy alternatywnej.
Bior¡c pod uwag¦ okre±lenie wielko±ci i otrzymuje si¦ w szczególno±ci
M(
1
; H
0
) = ;
M(
1
; H
1
) = 1:
(6)
Mo»na te» okre±li¢ funkcj¦ b¦d¡c¡ w ±cisªym zwi¡zku z moc¡ testu, tj. funkcj¦ operacyjnocharakterystyczn¡
zwan¡ te» funkcj¡ OC lub charakterystyk¡ testu
L(
1
; H) = 1M(
0
; H):
(7)
Funkcja ta okre±la prawdopodobie«stwo odwrotne, czyli prawdopodobie«stwo akceptacji (zwrot akceptacja
nale»y rozumie¢ jako brak podstaw do odrzucenia ) hipotezy zerowej.
W szczególno±ci zachodz¡ zwi¡zki
L(
1
; H
0
) = 1;
L(
1
; H
1
) = :
(8)
Idealny byªby test, dla którego funkcja OC speªniaªaby nast¦puj¡ce zwi¡zki
L(
1
; H
0
) = 1; L(
1
; H) = 0 gdy H 6= H
0
:
(9)
3 Testy parametryczne oparte na zaªo»eniu normalno±ci
W zastosowaniach technicznych wa»n¡ rol¦ odgrywaj¡ zminne losowe o rozkªadzie normalnym. Z tego te»
powodu cz¦sto stosuje si¦ testy parametryczne, oparte na zaªo»eniu rozkªadu normalnego. Najcz¦±ciej testuje
si¦ nast¦puj¡ce hipotezy:
1. m przyjmuje pewn¡ warto±¢, jest znane,
2. m przyjmuje pewn¡ warto±¢, nie jest znane ale staªe,
3. w dwu populacjach m
1
= m
2
,
1
i
2
s¡ znane,
4. w dwu populacjach m
1
= m
2
,
1
i
2
s¡ staªe i równe, ale nieznane,
5. w dwu populacjach m
1
= m
2
,
1
i
2
s¡ staªe ale nieznane,
6. test równo±ci wariancji.
W wielu przypadkach wymagane jest dalsze rozbicie klasykacji, zale»nie od przyj¦tego obszaru krytycznego
1
, w szczególno±ci, od tego, czy obszar krytyczny jest jednym przedziaªem (test jednostronny), czy te»
skªada si¦ z dwóch przedziaªów (test dwustronny). Ponadto prócz wy»ej wymienionych testów klasycznych
istniej¡ obszerne grupy testów specjalnych. Poni»ej przedstawione zostan¡ niektóre testy klasyczne.
2
Laboratorium RPiS
Testowanie hipotez parametrycznych
3.1 Hipoteza o ±redniej, nieznane
Przyjmijmy, »e cecha X populacji generalnej ma rozkªad normalny o g¦sto±ci N(m; ), przy czym nieznana
jest warto±¢ . Zwerykujmy hipotez¦ H
0
(m = m
0
) wobec hipotezy alternatywnej H
1
(m = m
1
). Z takim
problemem mamy do czynienia w przypadku, gdy jedynym ¹ródªem informacji jest próbka. Hipotez¦ H
0
mo»na zwerykowa¢ za pomoc¡ statystyki t-Studenta na poziomie istotno±ci .
Statystyka
xm
0
S
p
t =
N1;
(10)
gdzie
1
N
X
1
N
X
N
x)
2
;
x =
x
k
;
S
2
=
(x
k
k=1
k=1
jak wiadomo ma rozkªad t-Studenta o N1 stopniach swobody. Wyznaczamy z próby warto±¢ tej statystyki
(10) (jej realizacj¦) i je»eli warto±¢ ta speªnia relacj¦jtj> t
, gdzie t
czyni zado±¢ równo±ci
P (t
< t < t
) = 1;
(11)
to odrzucamy hipotez¦ H
0
i przyjmujemy hipotez¦ H
1
. Zbiór krytyczny skªada si¦ z tych punktów przestrzeni
prób, dla których t obliczone z zale»no±ci (10) speªnia relacj¦jtj> t
.
3.1.1 Test istotno±ci
Podany zostanie teraz tok post¦powania w przypadku parametrycznych testów istotno±ci. Testem istotno±ci
jak wiadomo, nazywamy taki test, w którym werykuje si¦ tylko jedn¡ hipotez¦ H
0
(q = q
0
), przy czym nie
stawia si¦ jednocze±nie innych hipotez. Z badanej populacji losujemy N-elementow¡ próbe charakteryzowan¡
N-wymiarow¡ zmienn¡ losow¡ (X
1
; X
2
;; X
N
). Tworzy statystyk¦ testow¡
Q = f(X
1
; X
2
;; X
N
);
(12)
stanowi¡c¡ estymator nieznanego parametru q. Okre±lamy rozkªad prawdopodobie«stwa statystyki
Q i wy-
znaczamy dla zadanego poziomu istotno±ci obszar krytyczny
1
z warunku
P ( Q2
1
jH
0
) = P (jQq
0
j> K) = :
(13)
j > K) = p. Je±li p, to hipotez¦ H
0
odrzucamy, natomiast je±li p > , to nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy H
0
. Je±li prawdopodobie«stwo zaobserwowanego zdarzenia jest wi¦ksze od , to mo»na
jedynie twierdzi¢, »e przeprowadzone do±wiadczenie nie przeczy hipotezie H
0
. W przypadku, gdy nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
, mo»na zrobi¢ jeden z trzech mo»liwych kroków:
1. odrzuci¢ od razu hipotez¦ na wy»szym poziomie istotno±ci,
2. pobra¢ wi¦ksz¡ próbk¦ i ponowi¢ obliczenia,
3. przyj¡¢ hipotez¦ H
0
, ale na wªasn¡ odpowiedzialno±¢ :-).
Rozwa»my przypadek, gdzie jedynym ¹ródªem informacji jest próbka. Z zagadnieniem tym mo»na si¦ spotka¢
w pracy eksperymentalnej, w szczególno±ci, gdy eksperyment wykonuje si¦ jeden raz. Warto±¢ statystyki t-
Studenta oblicza si¦ ze wzoru (10). Z tablic rozkªadu t-Studenta wyznaczamy dla N1 stopni swobody
warto±¢ t
tak¡, »e
P (jtj< t
) = 1:
(14)
Je±li t <t
albo t > t
to odrzucamy hipotez¦ H
0
(m = m
0
na poziomie istotno±ci .
Je±lit
< t < t
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H
0
na poziomie istotno±ci .
Test istotno±ci mo»na zastosowa¢ do ogólniejszego przypadku werykowania hipotezy o równo±ci dwóch
±rednich, przy nieznanych ale jednakowych odchyleniach ±rednich. Przyjmijmy, »e mamy dwie próby o liczeb-
no±ciach N
1
i N
2
z dwóch populacji. Oznaczmy przez X
1
cech¦ X w pierwszej populacji i zaªó»my, »e ma ona
3
N
Mo»na równie» post¡pi¢ odwrotnie. Dla otrzymanej oceny q z próby obliczy¢ prawdopodobie«stwo P (jQ
q
0
Laboratorium RPiS
Testowanie hipotez parametrycznych
rozkªad normalny o g¦sto±ci N(m
1
;
1
). Cech¦ X populacji drugiej oznaczymy przez X
2
i równie» zaªo»ymy,
»e ma rozkªad normalny o g¦sto±ci N(m
2
;
2
). Zaªó»my równie», »e odchylenie ±rednie w obu populacjach
jest jednakowe,
1
=
2
, ale nieznane. Zwerykujemy hipotez¦ H
0
(m
1
= m
2
) na poziomie .
Tworzymy statystyk¦
s
T =
p
x
1
x
2
N
1
N
2
(N
1
+ N
2
2)
N
1
+ N
2
;
(15)
N
1
S
1
+ N
2
S
2
maj¡c¡ rozkªad t-Studenta o k = N
1
+ N
2
2 stopniach swobody. x
1
, x
2
s¡ ±rednimi w odpowiednich
próbkach o liczno±ciach N
1
oraz N
2
, a S
1
, S
2
s¡ estymatorami obci¡»onymi wariancji
1
i
2
, odpowiednio.
Obliczamy warto±¢ statystyki T na podstawie (15). Dla poziomu istotno±ci odczytuje si¦ z tablic rozkªadu
t-Studenta warto±¢ krytyczn¡ t
statystyki T dla k = N
1
+ N
2
2 stopni swobody. Dalszy ci¡g post¦powania
jest taki sam jak poprzednio.
3.2 Werykacja hipotezy o wariancji
2
Dla werykacji hipotezy o wariancji
2
wykorzystujemy rozkªad
2
. Z badanej populacji losujemy prób¦ o
liczno±ci N: (x
1
; x
2
;; x
N
). Je»eli hipoteza H
0
( =
0
) jest prawdziwa, to statystyka
P
N
i=1
(x
i
x)
2
2
N1
=
(16)
0
ma rozkªad
2
o (N1) stopniach swobody. W zale»no±ci od postaci hipotezy alternatywnej budujemy
nast¦puj¡ce obszary krytyczne testu:
a) gdy hipoteza alternatywna przyjmuje posta¢ H
1
: >
0
obszarem krytycznym jest zbiór takich warto±ci
2
N1
, które speªniaj¡ zale»no±¢
2
N1
>
kryt
; (17)
gdzie
kryt
odczytane jest z tablicy rozkªadu
2
dla poziomu istotno±ci i (N1) stopni swobody,
b) w przypadku hipotezy alternatywnej H
1
: 6=
0
obszar krytyczny skªada si¦ z takich warto±ci statystyki
P
N
k=1
(x
k
x)
2
, które speªniaj¡ warunek
X
(x
i
x)
2
>
0
kryt
;
(18)
i=1
lub
X
(x
i
x)
2
<
0
0
kryt
;
(19)
i=1
gdzie
kryt
odczytywane jest z tablic rozkªadu
2
dla 1
2
oraz (N1) stopni swobody, za±
0
kryt
dla
1
3.3 Porównanie wariancji (test F -Snedecora)
Zagadnienie porównania wariancji populacji o jednakowych warto±ciach ±rednich jest cz¦sto spotykanym pro-
blemem w zastosowaniach technicznych. Przykªadem mo»e by¢ pomiar jednej i tej samej wielko±ci dwoma
ró»nymi przyrz¡dami pomiarowymi, pozbawionymi bª¦dów systematycznych. Chcemy sprawdzi¢ np. czy do-
kªadno±¢ pomiaru jest taka sama dla obu przyrz¡dów. W celu werykacji hipotezy H
0
(
1
=
2
) wyra»aj¡cej
równo±¢ wariancji dwu populacji zaªo»ymy, »e rozwa»ane populacje podlegaj¡ rozkªadowi normalnemu. Po-
bieramy próbki o liczno±ciach odpowiednio N
1
i N
2
. Tworzymy statystyk¦
F =
S
2
1
S
2
2
;
(20)
4
N
N
2
oraz (N1) stopni swobody.
Laboratorium RPiS
Testowanie hipotez parametrycznych
maj¡c¡ rozkªad F -Snedecora o parze (N
1
1; N
2
1) stopni swobody, przy czym S
2
i
s¡ estymatorami
nieobci¡»onymi wariancji
i
z próbki N
i
-elementowej (i = 1; 2). Wyznaczamy warto±¢ tej statystyki, bior¡c
w liczniku warto±¢ S
2
1
wi¦ksz¡ od warto±ci S
2
2
w mianowniku. Dobieramy obszar krytyczny
1
dla testu,
poprzez dobór warto±ci f
.
Dla ró»nych i ró»nych par (N
1
1) warto±ci f
s¡ podane w tablicach. Po obliczeniu warto±ci
F odczytujemy z tablicy rozkªadu F -Snedecora dla przyj¦tego poziomu istotno±ci warto±¢ krytyczn¡ f
,
aby byªa speªniona relacja
1; N
2
P (Ff
) = :
(21)
Mo»na zauwa»y¢, »e nierówno±¢ Ff
okre±la obszar krytyczny testu. Je»eli F < f
, to nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy H
0
, a je»eli Ff
, to hipotez¦ odrzucamy.
Je»eli w wyniku zastosowania testu istotno±ci F dla dwu prób o rozkªadzie normalnym N(m
1
;
1
)
N(m
2
;
2
) odpowiednio, stwierdza si¦ istotn¡ ró»nic¦ pomi¦dzy dwiema wariancjami, nie mo»na korzysta¢
z warto±ci statystyki podanej poprzednio. Stosuje si¦ wówczas dla zwerykowania hipotezy H
0
(m
1
= m
2
)
(N
1
= N
2
= N) test t-Studenta istotno±ci oparty na nast¦puj¡cym wzorze
t =
q
x
1
x
2
:
(22)
NS
1
+NS
2
N(N1)
6=
2
, to dla
zwerykowania hipotezy zerowej H
0
(m
1
= m
2
) korzysta si¦ z przybli»onego testu Cochrana-Coxa obliczaj¡c
warto±¢ statystyki
x
1
x
2
C =
p
;
(23)
Z
1
+ Z
2
gdzie
N
1
S
1
N
1
(N
1
N
2
S
2
N
2
(N
2
Z
1
=
1)
;
Z
2
=
1)
:
Warto±¢ krytyczn¡ c
oblicza si¦ ze wzoru
c
=
Z
1
t
1
+ Z
2
t
2
Z
1
+ Z
2
;
(24)
gdzie t
i
s¡ warto±ciami krytycznymi odczytanymi z tablic rozkªadu t-Studenta dla (N
i
1) stopni swobody
(i = 1; 2).
Przykªad 1. Dla zbioru danych X =fx
i
gzwerykowa¢ hipotez¦ H
0
: m = 0, wobec hipotezy alternatywnej
H
1
: m 6= 0.
i x
i
1 1; 55508
2 0; 342242
3 1; 0849
4 0; 362719
5 1; 42819
6 1; 11659
7 0; 258791
8 1; 05238
9 0; 180204
10 1; 80046
11 1; 09857
12 0; 216113
5
Warto±¢ krytyczn¡ t
odczytuje si¦ z tablic rozkªadu t-Studenta dla (N1) stopni swobody.
W przypadku, gdy mamy do czynienia z ró»nolicznymi próbami (N
1
6= N
2
), pochodz¡cymi z dwu po-
pulacji o rozkªadzie normalnym N(m
1
;
1
), N(m
2
;
2
) odpowiednio o ró»nych wariancjach
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

lemansa.htw.pl